洛希极限的计算方法

设洛希极限为d{\displaystyle d}。

对于一个完全刚体、圆球形的卫星，假设其物质都是因为引力才合在一起的，且所环绕的行星亦是圆球形，并忽略其他因素如潮汐变形及自转。

其中R{\displaystyle R}是卫星所环绕的星体的半径，ρ ρ -->M{\displaystyle \rho _{M}}是该星体的密度，ρ ρ -->m{\displaystyle \rho _{m}}是卫星的密度。

对于是流体的卫星，潮汐力会拉长它，令它变得更易碎裂。

由于有黏度、摩擦力、化学键等影响，大部分卫星都不是完全流体或刚体，其洛希极限都在这两个界限之间。

如果一个刚体卫星的密度是所环绕的星体的密度两倍以上（例如一个巨大的气体行星跟刚体卫星；对于流体卫星来说，则要约14.2倍以上)，d<R{\displaystyle d，洛希极限会在所环绕的星体之内，即是说这个卫星永远都不会因为所环绕的星体的引力而碎裂。

公式的导出

假设除了引力之外没有其他力，且卫星和所环绕的行星的形状是圆球。

考虑卫星表面的最接近行星的细质量u{\displaystyle u}，有两股力作用在u{\displaystyle u}上：卫星的引力和行星的引力。基于卫星在行星引力场内自由降落，潮汐力不过是行星引力同义词。

设FG{\displaystyle F_{G}}为卫星作用在u{\displaystyle u}上的引力，根据牛顿引力定律，FG=Gmur2{\displaystyle F_{G}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}。

设d{\displaystyle d}为卫星和行星中心的距离，R{\displaystyle R}为行星半径，FT{\displaystyle F_{T}}为行星作用在u{\displaystyle u}上的潮汐力，

若卫星刚好在洛希极限，FG=FT{\displaystyle F_{G}=F_{T}}，即

由此即可计出d=r(2M/m)1/3{\displaystyle d=r(2M/m)^{1/3}}。

不想卫星半径出现在公式中，便将其半径以密度等变数写出。

行星的质量可写成：

卫星的质量可写成：

代入上面的洛希极限的公式，得

简化成：

流体的洛希极限公式

洛希给出的基于流体洛希极限的公式是：

更精确的公式是：

c/R{\displaystyle c/R}是行星的扁度。

公式的推导过程较复杂，此处不予给出。

洛希极限的例子

以太阳系内的星体为例：

彗星的平均密度是500公斤/米

使用以上数据，计算流体及刚体洛希极限。R表示它们和真正的洛希极限之比。

太阳系的行星和其卫星之间的真实洛希极限和计算洛希极限如下表所示：

参见

希尔球（Hill sphere）

洛希瓣（Roche lobe）

面条化（Spaghettification，一个更为极端的潮汐力扭曲）

参考资料

Édouard Roche: La figure d"une masse fluide soumise à l"attraction d"un point éloigné, Acad. des sciences de Montpellier, Vol.1 (1847-50) p.243

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