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除以零

2020-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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基本算术基本算术中，除法指将一个集合中的物件分成若干等份。例如，10{displaystyle10}个苹果平分给5{displaystyle5}人，每人可得105=2{displaystyle{frac{10}{5}}=2}个苹果。同理，10{displaystyle10}个苹果只分给1{

基本算术

基本算术中，除法指将一个集合中的物件分成若干等份。例如，10{\displaystyle 10}个苹果平分给5{\displaystyle 5}人，每人可得105=2{\displaystyle {\frac {10}{5}}=2}个苹果。同理，10{\displaystyle 10}个苹果只分给1{\displaystyle 1}人，则其可独得101=10{\displaystyle {\frac {10}{1}}=10}个苹果。

若除以0{\displaystyle 0}又如何？若有10{\displaystyle 10}颗苹果，无人来分，每“人”可得多少苹果？问题本身是无意义的，因根本无人来，论每“人”可得多少，根本多余。因此，100{\displaystyle {\frac {10}{0}}}，在基本算术中，是无意义或未下定义的。

另种解释是将除法理解为不断的减法。例如“13{\displaystyle 13}除以5{\displaystyle 5}”，换一种说法，13{\displaystyle 13}减去两个5{\displaystyle 5}，余下3{\displaystyle 3}，即被除数一直减去除数直至余数数值低于除数，算式为135=2{\displaystyle {\frac {13}{5}}=2}余数3{\displaystyle 3}。若某数除以零，就算不断减去零，余数也不可能小于除数，使得算式与无穷拉上关系，超出基本算术的范畴。此解释也有一问题，即为无穷大乘以零仍是零。

早期尝试

婆罗摩笈多（598–668年）的著作《Brahmasphutasiddhanta（英语：Brahmasphutasiddhanta）》被视为最早讨论零的数学和定义涉及零的算式的文本。但当中对除以零的论述并不正确，根据婆罗摩笈多，

830年，摩诃吠罗在其著作《Ganita Sara Samgraha》试图纠正婆罗摩笈多的错误，但不成功：

婆什迦罗第二尝试解决此问题，设n0=∞ ∞ -->{\displaystyle {\frac {n}{0}}=\infty }，虽然此定义有一定道理，但会导致一个悖论：0× × -->∞ ∞ -->{\displaystyle 0\times \infty }的结果可以是任意一个数，那么就会得出所有的数都相同的错误结论。

代数处理

若某数学系统遵从域的公理，则在该数学系统内除以零必须为没有意义。这是因为除法被定义为是乘法的逆向操作，即ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}值是方程bx=a{\displaystyle bx=a}中x{\displaystyle x}的解（若有的话）。若设b=0{\displaystyle b=0}，方程式bx=a{\displaystyle bx=a}可写成0× × -->x=a{\displaystyle 0\times x=a}或直接0=a{\displaystyle 0=a}。因此，方程式bx=a{\displaystyle bx=a}没有解（当a≠ ≠ -->0{\displaystyle a\neq 0}时），但x{\displaystyle x}是任何数值也可解此方程（当a=0{\displaystyle a=0}时）。在各自情况下均没有独一无二的数值，所以ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}未能下定义。

除以零的谬误

在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明：2=1{\displaystyle 2=1} 由：

得出：

除以零得出

简化，得出：

以上谬论假设，就是某数除以0是容许的并且00=1{\displaystyle {\frac {0}{0}}=1}。另一个简洁的证明

通过上面的过程，能够证明一切数字等于0{\displaystyle 0}。但是因为不能够除以0{\displaystyle 0}（a− − -->b=0{\displaystyle a-b=0}），所以这个毁灭数字的过程不正常。

虚假的除法

在矩阵代数或线性代数中，可定义一种虚假的除法，设ab=ab+{\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{+}}，当中b+{\displaystyle b^{+}}代表b{\displaystyle b}的虚构倒数。这样，若b− − -->{\displaystyle b^{-}}存在，则b+=b− − -->{\displaystyle b^{+}=b^{-}}。若b=0{\displaystyle b=0}，则0+=0{\displaystyle 0^{+}=0}；参见广义逆。

数学分析

函数y=1x{\displaystyle y={\frac {1}{x}}}。当x{\displaystyle x}趋向0{\displaystyle 0}，y{\displaystyle y}趋向∞ ∞ -->{\displaystyle \infty }（反之亦然）

扩展的实数轴

表面看来，可以藉着考虑随着b{\displaystyle b}趋向0{\displaystyle 0}的ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}极限而定义a0{\displaystyle {\frac {a}{0}}}。对于任何正数a{\displaystyle a}，

而对于任何负数a{\displaystyle a}，

所以，对于正数a{\displaystyle a}，a0{\displaystyle {\frac {a}{0}}}可被定义为∞ ∞ -->{\displaystyle \infty }，而对于负数a{\displaystyle a}则可定义为− − -->∞ ∞ -->{\displaystyle -\infty }。不过，某数也可以由负数一方（左面）趋向零，这様，对于正数a{\displaystyle a}，a0{\displaystyle {\frac {a}{0}}}定义为− − -->∞ ∞ -->{\displaystyle -\infty }，对于负数a{\displaystyle a}，a0{\displaystyle {\frac {a}{0}}}定义为+∞ ∞ -->{\displaystyle +\infty }。由此可得（假设实数的基本性质可应用在极限上）：

最终变成 +∞ ∞ -->=− − -->∞ ∞ -->{\displaystyle +\infty =-\infty }，与在扩展的实数轴上对极限赋予的标准定义不相符。唯一的办法是用没有正负号的无限，参见下面。

另外，利用极限的比无为00{\displaystyle {\frac {0}{0}}}提供解释：

并不存在，而

若随着x{\displaystyle x}趋向0{\displaystyle 0}，f(x){\displaystyle f(x)}与g(x){\displaystyle g(x)}均趋向0{\displaystyle 0}，该极限可等于任何实数或无限，或者根本不存在，视乎f{\displaystyle f}及g{\displaystyle g}是何函数（参阅洛必达法则）。由此，00{\displaystyle {\frac {0}{0}}}难以被定义为一极限。

形式推算

运用形式推算（formal calculation），正号、负号或没有正负号因情况而定，除以零定义为：

黎曼球

集合C∪ ∪ -->{∞ ∞ -->}{\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}为黎曼球（Riemann sphere），在复分析中相当重要。

参考

Patrick Suppes 1957 (1999 Dover edition), Introduction to Logic, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.).

Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).

Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).