概述

为了便利分析，位于下标的符号 H {\displaystyle {}_{\mathcal {H}}} 、 S {\displaystyle {}_{\mathcal {S}}} 分别标记海森堡绘景、薛定谔绘景。

在量子力学的海森堡绘景里，态矢量 | ψ ψ --> ⟩ ⟩ --> H {\displaystyle |\psi \rangle _{\mathcal {H}}} 不含时，而可观察量的算符 A H {\displaystyle A_{\mathcal {H}}} 则含时，并且满足“海森堡运动方程”：

其中， ℏ ℏ --> {\displaystyle \hbar } 是约化普朗克常数， H {\displaystyle H} 是哈密顿量， [ A H , H ] {\displaystyle [A_{\mathcal {H}},\,H]} 是 A H {\displaystyle A_{\mathcal {H}}} 与 H {\displaystyle H} 的对易算符。

从某种角度来看，海森堡绘景比薛定谔绘景显得更为自然，更具有基础性，因为，经典力学分析物体运动所使用的物理量是可观察量，例如，位置、动量等等，而海森堡绘景专注的就是这些可观察量随着时间流易的演化。进一步来看，海森堡绘景表述的量子力学与经典力学的相似可以很容易的观察到：只要将对易算符改为泊松括号，海森堡方程立刻就变成了哈密顿力学里的运动方程，其形式表示为

其中， [ , ] P o i s s o n {\displaystyle [\ ,\,\ ]_{Poisson}} 是泊松括号。

通过 狄拉克量子化条件 （ 英语 ： canonical quantization ） ，可以从哈密顿力学的运动方程得到海森堡运动方程：

史东-冯诺伊曼理论 （ 英语 ： Stone-von Neumann theorem ） 证明海森堡绘景与薛定谔绘景是等价的。

理论导引

在薛定谔绘景里，负责时间演化的算符是一种幺正算符，称为时间演化算符。假设时间从 0 {\displaystyle 0} 流易到 t {\displaystyle t} ，而经过这段时间间隔，态矢量 | ψ ψ --> ( 0 ) ⟩ ⟩ --> S {\displaystyle |\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}} 演化为 | ψ ψ --> ( t ) ⟩ ⟩ --> S {\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}} ，这时间演化过程以方程表示为

其中， U ( t , 0 ) {\displaystyle U(t,0)} 是时间从 0 {\displaystyle 0} 流易到 t {\displaystyle t} 的时间演化算符。

时间演化算符是幺正算符：

假设系统的哈密顿量 H {\displaystyle H} 不含时，则时间演化算符为

而且，时间演化算符与哈密顿量相互对易：

注意到指数函数 e − − --> i H t / ℏ ℏ --> {\displaystyle e^{-iHt/\hbar }} 泰勒须通过其泰勒级数计算。

在海森堡绘景里，态矢量 | ψ ψ --> ( t ) ⟩ ⟩ --> H {\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}} 、算符 A H ( t ) {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)} 分别定义为

由于 U ( t , 0 ) {\displaystyle U(t,0)} 、 U † † --> ( t , 0 ) {\displaystyle U^{\dagger }(t,0)} 对于偏导数偏导数分别为

所以，算符 A H ( t ) {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)} 对于时间的导数是

由于不含时哈密顿量在海森堡绘景的形式与在薛定谔绘景相同，可以忽略下标：

将算符的定义式纳入考量，就可以得到海森堡运动方程：

期望值

在薛定谔绘景哩，可观察量 A {\displaystyle A} 的期望值为

在海森堡绘景里，可观察量 A {\displaystyle A} 的期望值为

注意到态矢量 | ψ ψ --> ( t ) ⟩ ⟩ --> H {\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}} 、算符 A H ( t ) {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)} 的定义式：

所以，这两种期望值的表述方式等价。

贝克-豪斯多夫引理

算符 A H ( t ) {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)} 的定义式涉及到指数函数 e − − --> i H t / ℏ ℏ --> {\displaystyle e^{-iHt/\hbar }} ，必须通过其泰勒级数计算，这是个很繁杂的过程，可以利用 贝克-豪斯多夫引理 （ 英语 ： Baker-Hausdorff lemma ） 来计算

对于算符 A H ( t ) {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)} ，可以得到

由于泊松括号与对易算符的关系，在哈密顿力学里，这方程也成立。

自由粒子范例

本节运算只涉及海森堡绘景，为了简便起见，忽略下标 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 。设想自由粒子系统，其哈密顿量为

动量 p {\displaystyle p} 的海森堡运动方程为

这是因为 p {\displaystyle p} 与 H {\displaystyle H} 对易。所以，动量 p {\displaystyle p} 是个常数：

位置 x {\displaystyle x} 的海森堡运动方程为

所以，位置与时间的关系式为

换另一种方法，算符随着时间流易而演化的方程为

利用 贝克-豪斯多夫引理 （ 英语 ： Baker-Hausdorff lemma ） ，

注意到以下两个对易关系式：

将这两个对易关系式代入，可以得到同样的位置与时间的关系式：

注意到位置在不同时间的对易子不等于零：

谐振子范例

本节运算只涉及海森堡绘景，为了简便起见，忽略下标 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 。设想谐振子系统，其哈密顿量为

其中， ω ω --> {\displaystyle \omega } 为谐振子频率。

动量算符 p {\displaystyle p} 、位置算符 x {\displaystyle x} 的海森堡运动方程分别为

再求这两个方程对于时间的导数，

设定动量算符、位置算符的初始条件分别为

则在初始时间，

所以，二次微分方程的解答分别是

稍加运算，可以得到海森堡绘景里的对易关系：

假若 t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}} ，则立刻会得到熟悉的正则对易关系。

换另一种方法，算符随着时间流易而演化的方程为

利用 贝克-豪斯多夫引理 （ 英语 ： Baker-Hausdorff lemma ） ，

注意到以下两个对易关系式：

将这两个对易关系式代入，可以得到同样的位置与时间的关系式：

类似地,也可以得到同样的动量与时间的关系式。

各种绘景比较摘要

各种绘景随着时间流易会呈现出不同的演化：

注释

^ 在薛定谔绘景里，假若势能与时间有关， V = V ( t ) {\displaystyle V=V(t)} ，则哈密顿算符 H = P 2 2 m + V ( t ) {\displaystyle H={\frac {P^{2}}{2m}}+V(t)} 也与时间有关。

^ 在薛定谔绘景里，假若哈密顿算符含时， H S = H S ( t ) {\displaystyle H_{\mathcal {S}}=H_{\mathcal {S}}(t)} ，则时间演化算符会比较复杂。更详尽内容，请查阅条目时间演化算符

^ 处于不同时间 t 1 {\displaystyle t_{1}} 、 t 2 {\displaystyle t_{2}} 的哈密顿算符 H ( t 1 ) {\displaystyle H(t_{1})} 、 H ( t 2 ) {\displaystyle H(t_{2})} 可能会不相互对易： [ H ( t 1 ) , H ( t 2 ) ] ≠ ≠ --> [ H ( t 2 ) , H ( t 1 ) ] {\displaystyle [H(t_{1}),H(t_{2})]\neq [H(t_{2}),H(t_{1})]} 。 对于这案例，时间演化算符必须用 戴森级数 （ 英语 ： Dyson series ） 来表示，时间演化算符与哈密顿算符也会不相互对易。

^ 假若算符 A S {\displaystyle A_{\mathcal {S}}} 含时： A S = A S ( t ) {\displaystyle A_{\mathcal {S}}=A_{\mathcal {S}}(t)} ， 则算符 A H ( t ) {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)} 对于时间的导数是 d d t A H ( t ) = ∂ ∂ --> U † † --> ( t , 0 ) ∂ ∂ --> t A S U ( t , 0 ) + U † † --> ( t , 0 ) A S ∂ ∂ --> U ( t , 0 ) ∂ ∂ --> t + U † † --> ( t , 0 ) ∂ ∂ --> A S ∂ ∂ --> t U ( t , 0 ) = 1 i ℏ ℏ --> [ U † † --> A S U , U † † --> H U ] + U † † --> ( t , 0 ) ∂ ∂ --> A S ∂ ∂ --> t U ( t , 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)&={\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}A_{\mathcal {S}}U(t,0)+U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}{\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}+U^{\dagger }(t,0){\frac {\partial A_{\mathcal {S}}}{\partial t}}U(t,0)\\&={1 \over i\hbar }[U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}U,U^{\dagger }HU]+U^{\dagger }(t,0){\frac {\partial A_{\mathcal {S}}}{\partial t}}U(t,0)\\\end{aligned}}} 。

^ 假若处于不同时间 t 1 {\displaystyle t_{1}} 、 t 2 {\displaystyle t_{2}} 的哈密顿算符 H ( t 1 ) {\displaystyle H(t_{1})} 、 H ( t 2 ) {\displaystyle H(t_{2})} 不相互对易： [ H ( t 1 ) , H ( t 2 ) ] ≠ ≠ --> [ H ( t 2 ) , H ( t 1 ) ] {\displaystyle [H(t_{1}),H(t_{2})]\neq [H(t_{2}),H(t_{1})]} 。 则哈密顿量在两种绘景里的形式可能不相同。

参考文献

Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Frank Laloe. Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. 1977: 312–314. ISBN 047116433X.

参阅

狄拉克标记

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