一般定义

设“+”为一个交换性的二元运算，即对于所有x,y，x+y=y+x。若该集内存在一个元素0，使得对于所有x，x+0=0+x=x，则此元素是唯一的。如果对于一个给定的x，存在一个x"使得x+x"=x"+x=0，则称x"是x的加法逆元。

特殊情况

定义

若“+”符合结合律，则任意数的加法逆元是唯一的。

证明

反证法： 设 x {\displaystyle x} 有两个相异的加法逆元 x 1 {\displaystyle x_{1}} 、 x 2 {\displaystyle x_{2}} 有 x = x + 0 {\displaystyle x=x+0} 的关系。 ⇒ 0 = x + x 1 = x + x 2 {\displaystyle 0=x+x_{1}=x+x_{2}} ⇒ x 1 = x 2 {\displaystyle x_{1}=x_{2}} 产生矛盾，证讫。

例

向量空间：标量乘法-1

欧几里得空间：以原点为中心的反演变换

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