1-形式

余切丛的光滑截面是微分1-形式。

余切丛的定义

设M×M是M与自己的笛卡尔积。对角映射Δ将M中的点p映到M×M中的点 (p,p)。像 Δ称为对角线。设I{\displaystyle {\mathcal {I}}}是M上光滑函数芽的层。那么商层I/I2{\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}由高阶项为0的等价类组成。余切丛是这个层拉回到M：

由泰勒定理，这是M一个上关于光滑函数芽层上的模的局部自由层。从而在M上定义了一个向量丛：余切丛。

作为相空间的余切丛

辛形式

余切丛上有一个标准的辛形式，它是一个重言1-形式的外微分。该1-形式赋予余切丛的切丛中的一个向量该余切丛中的元素(一个线性泛函)到应用该向量在切丛上的投影(从余切丛到原来的流形的投影的微分)上得到的值。要证明该形式确实是辛形式，可以利用辛形式是一种局部性质：因为余切丛局部平凡，该定义只需在Rn× × -->Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}上验证。而在这种情况下，该1-形式定义为yidxi{\displaystyle y_{i}dx_{i}}之和，而其微分就是标准的辛形式，dyi∧ ∧ -->dxi{\displaystyle dy_{i}{\land }dx_{i}}之和。

相空间

若流形M{\displaystyle M}代表一个动力系统可能的位置的集合，则其余切丛T∗ ∗ -->M{\displaystyle \!\,T^{*}\!M}可以视为所有可能的位置和动量的组合的结合。例如，这是表述相空间相空间的一个方法。单摆的状态由其位置(一个角度)及其动量(或者等效的速度其速度，因为其质量不变)来表示。这个状态空间看起来象一个圆柱面。该圆柱面是该圆圈的余切丛。上面构造的辛结构，和适当的能量函数一起就给出了一个确定的物理系统。更多细节参看哈密顿力学，参看测地流条目中的一个哈密顿运动方程的显式构造。

参看

切丛

参考

Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2.

Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X.

Stephanie Frank Singer, Symmetry in Mechanics: A Gentle Modern Introduction, (2001) Birkhauser, Boston.

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