预备知识

数系的拓展

数系是人类将自然中的数量关系抽象化得到的代数系统。最早建立的数系是带有加法与乘法的自然数N={0,1,2,3⋯ ⋯ -->}{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3\cdots \}}，其后负数了分数、分数的概念，有理数有理数Q{\displaystyle \mathbb {Q} }。Q{\displaystyle \mathbb {Q} }是“最小的”能四则运算则运算的代数系统，这样的系统在近世代数中称为域。

度量

数系的拓展中，自然数系到有理数系的拓展是基于代数运算的需求，而有理数系到实数系的拓展则是拓扑学的需要。这里的拓扑指的是为代数体系赋予“形状”，定义“远近”、“长短”等概念，是建立几何和分析结构的基础。一个常见的拓扑学方法是引入“距离”的概念，正式称呼为度量。最直观的定义是将两个有理数的“距离”（度量）d{\displaystyle d}定义为两者之差的绝对值：

两个有理数之间的度量是一个非负的有理数。也即是说度量d{\displaystyle d}是一个从有理数域映射到非负有理数集合的二元函数：Q× × -->Q→ → -->Q+={x∈ ∈ -->Q;x⩾ ⩾ -->0}{\displaystyle \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q} ^{+}=\{x\in \mathbb {Q} ;\;\;x\geqslant 0\}}。其中Q+{\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}的大小关系则是有理数域上欧几里德序。这个度量基于欧几里德几何，叫做欧几里德度量或绝对值度量。

完备化

在Q{\displaystyle \mathbb {Q} }上装备了度量后，可以讨论极限的概念。极限描述了一个数列在下标趋于无穷时的趋势，是分析学的基础。如果一个有理数列在下标趋于无穷时，数列的项与某个数l∈ ∈ -->Q{\displaystyle l\in \mathbb {Q} }的距离可以小于任意给定的正有理数，就称l{\displaystyle l}为此数列的极限。拥有极限的数列的项在下标趋于无穷时相互无限“靠近”。但反过来，这样的数列不一定拥有有理数极限。比如说以下数列：

这说明有理数在表示长度和距离的时候是不完备的，存在着无法用有理数表达的长度。为此需要对有理数进行扩展，称为完备化。

将Q{\displaystyle \mathbb {Q} }完备化的拓扑方法由格奥尔格·康托提出。康托的方法依赖于现称为柯西数列的概念。柯西数列是一种可以用任意“小”的“圆盘”覆盖从某项起所有项的无穷数列。某个有理数数列(an)n∈ ∈ -->N∈ ∈ -->QN{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }}是柯西数列，当且仅当对任意有理数ϵ ϵ -->>0{\displaystyle \epsilon >0}，都存在自然数Nϵ ϵ -->∈ ∈ -->N{\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} }，使得对任意n,m>Nϵ ϵ -->{\displaystyle n,m>N_{\epsilon }}，都有d(an,am){\displaystyle d(a_{n},a_{m}) 。康托承认每个这样的有理数数列都收敛到某个极限，将无理数定义为某个柯西数列的极限。当然也存在收敛到有理数的柯西数列，比如常数数列。如果两个柯西数列(an)n∈ ∈ -->N{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}和(bn)n∈ ∈ -->N{\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}的差：(an− − -->bn)n∈ ∈ -->N{\displaystyle (a_{n}-b_{n})_{n等价关系\mathbb {N} }}收敛于0，就称这两个数列等价。这样可以在所有的柯西数列中建立等价关系。而康托将所有的等价类的集合定义为R{\displaystyle \mathbb {R} }。四则运算、绝对值度量和序关系“>”都可以从有理数域自然诱导到R{\displaystyle \mathbb {R} }上。最重要的是，可以证明，所有R{\displaystyle \mathbb {R} }中元素构成的柯西数列都收敛到R{\displaystyle \mathbb {R} }中。这说明R{\displaystyle \mathbb {R} }是一个有序完备数域。

实数R{\displaystyle \mathbb {R} }作为Q{\displaystyle \mathbb {Q} }的完备化是建立在绝对值度量上的，这种度量与日常现实中的欧几里德式的“距离”概念吻合，符合直观经验。实数也因此成为描述现实世界的有力数学工具。p进数与实数的不同在于，它是将绝对值度量改为另一种非直观的度量对有理数进行完备化后得到的完备数域。

构造

分析方法

在有理数Q{\displaystyle \mathbb {Q} }上引入绝对值度量，与此对应的柯西序列的等价类构成了完备数域R{\displaystyle \mathbb {R} }。p进数则是在Q{\displaystyle \mathbb {Q} }上引入不同的度量后进行完备化得到的完备数域。

给定素数p。对任意x∈ ∈ -->Q{\displaystyle x\in \mathbb {Q} }，将其写为分数形式x=ab{\displaystyle x={\frac {a}{b}}}，其中a和b是整数，b不等于0。根据算术基本定理，每个整数都可以唯一分解为素因数的乘积。考察p在a和b的素因数分解中的次数ordp⁡ ⁡ -->(a){\displaystyle \operatorname {ord} _{p}(a)}和ordp⁡ ⁡ -->(b){\displaystyle \operatorname {ord} _{p}(b)}，定义p进赋值：

同时约定ν ν -->p(0)=+∞ ∞ -->{\displaystyle \nu _{p}(0)=+\infty }。例如p=5{\displaystyle p=5}，x=63550{\displaystyle x={\frac {63}{550}}}，则

在此基础上，可以定义度量映射以及其对应诱导的范数：

例如

可以验证映射dp{\displaystyle \operatorname {d} _{p}}满足度量所需的一切性质。因此，用与构造实数相同的手段，可以构造一个完备有序数域，记作Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}。

由奥斯特洛夫斯基定理，Q{\displaystyle \mathbb {Q} }的所有绝对值赋值或者等价于绝对值，或为平凡赋值，或等价于某素数p的p进赋值。从而Q{\displaystyle \mathbb {Q} }（关于某赋值）的完备化也只有这些。

代数方法

用代数的方法，首先定义p进整数环Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}，然后构造其分式域，也可以得到p进数域。

首先考虑由整数模p的同余类构成的环：Z/pnZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }。Z/pnZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }与Z/pn− − -->1Z{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n-1}\mathbb {Z} }之间存在自然的环同态：

考察逆向链：

定义Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}为其逆向极限：Zp=lim⟵ ⟵ -->(Z/pnZ,φ φ -->n){\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\;\lim _{\longleftarrow }\left(\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,\varphi _{n}\right)}。 也就是说，每个p进整数a∈ ∈ -->Zp{\displaystyle a\in \mathbb {Z} _{p}}被定义为以下的序列：

其中an≡ ≡ -->an− − -->1(modpn− − -->1){\displaystyle a_{n}\equiv a_{n-1}{\pmod {p^{n-1}}}}。可以证明，这样定义的p进整数环Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}与拓扑方法构造的Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}中通过Zp={x;|x|p⩽ ⩽ -->1}{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\{x\;;\;|x|_{p}\leqslant 1同构}定义的p进整数环是同构的。

在以上的定义下，整数Z{\displaystyle \mathbb {Z} }可以自然地嵌入Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}中，每个整数都可以依照它在Z/pnZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }的同余类，唯一表示为一个p进整数。例如在p=3{\displaystyle p=3}时，整数3629在Z3{\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}中对应的3进整数可以表示为：

从上面的例子可以看到，对于正整数，an{\displaystyle a_{n}}将收敛于a{\displaystyle a}本身，对于负整数情况则复杂一些，例如，

由于环同态φ φ -->n{\displaystyle \varphi _{n}}良好地保持了环的结构，所以这种结构自然地延伸到逆向极限Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}中。直观上可以理解为，Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}是Z/pnZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }结构的极限。n越大，Z/pnZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }和Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}就越“相似”。

p进整数环Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}中的单位元显然是1p={1,1,⋯ ⋯ -->,1,⋯ ⋯ -->},{\displaystyle 1_{p}=\{1,1,\cdots ,1,\cdots \;\},} 一个p进整数a∈ ∈ -->Zp={a1,a2,⋯ ⋯ -->,an,⋯ ⋯ -->}{\displaystyle a\in \mathbb {Z} _{p}=\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \;\}}是（乘法）可逆元当且仅当a1{\displaystyle a_{1}}是Z/pZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }中的可逆元。非可逆元的元素都可以表达为：

其中u={u1,u2,⋯ ⋯ -->,un,⋯ ⋯ -->}{\displaystyle u=\{u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n},\cdots \;\}}是Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}中的可逆元，vp (a)称为p进整数a的（代数）赋值。可以看出，这个赋值和拓扑构造时的赋值是等价的。可以证明Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}是特征为0的整环。构造Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}的分式域，可以证明其分式域（在恰当的拓扑同构的意义上）等于前面用拓扑方法构造的Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}。

展开式与记数法

每个p进数x∈ ∈ -->Qp{\displaystyle x\in \mathbb {Q} _{p}}都有唯一的展开式：

其中k就是x的p进赋值ν ν -->p(x){\displaystyle \nu _{p}(x)}，ai∈ ∈ -->{0,1,⋯ ⋯ -->,p− − -->1}{\displaystyle a_{i}\in \{0,1,\cdots ,p-1\}}，a− − -->k≠ ≠ -->0{\displaystyle a_{-k}\neq 0}。这一展开式在度量dp{\displaystyle \operatorname {d} _{p}}下收敛到x。代数构造中p进整数的数列表示的第N项，等于其展开式前N项的部分和。设p进整数x的数列表示为{a1,a2,⋯ ⋯ -->,an,⋯ ⋯ -->}{\displaystyle \{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \}}，其展开式为∑ ∑ -->i=0∞ ∞ -->α α -->ipi{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\alpha _{i}p^{i}}，则

这说明p进整数数列表示中，随着项数增大，数列的项在dp{\displaystyle \operatorname {d} _{p}}下收敛到p进整数自身。

仿照有理数中p进制的记数法，可以将p进数x记为：

称为p进数的p进记法。

按dp{\displaystyle \operatorname {d} _{p}}的定义，x的“大小”（范数）为pk{\displaystyle p^{k}}。也就是说，一个p进数小数点后位数越多则越大。这个性质与实数正好相反。

例子

从代数构造方法中可知，整数Z{\displaystyle \mathbb {Z} }可以自然地嵌入Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}中，因此非负整数在Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}中表现为有限位数的p进整数。其p进记法和p进制记数法雷同。例如当p=5{\displaystyle p=5}时，自然数438{\displaystyle 438}记为：32235{\displaystyle 3223_{5}}。负整数和分母不为p的正整数次幂的分数在p进记法中则表现为向左侧延伸的无限循环。例如17{\displaystyle {\frac {1}{7}}}的p进记法为：

计算方法如下：

如果有理数x的分子或分母里含有p的幂次，则可以仿照p进制记数法的做法，先将其提出作为因数，写成x=pkab{\displaystyle x=p^{k}{\frac {a}{b}}}的形式，将ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}表达为p进记法，然后移动小数点得到x的p进记法。例如要求1175{\displaystyle {\frac {1}{175}}}的p进记法，可以先将1175{\displaystyle {\frac {1}{175}}}表示为1175=5− − -->217{\displaystyle {\frac {1}{175}}=5^{-2}{\frac {1}{7}}}，写出17{\displaystyle {\frac {1}{7}}}的p进记法后，将小数点向左移动两位得到：

因此，分母为p的正整数次幂的分数在p进数中表现为有限小数。

基本性质

Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}具有许多与R{\displaystyle \mathbb {R} }不同的特性，其中某些可能违反直观直觉。举例来说，Q5{\displaystyle \mathbb {Q} _{5}}中不存在平方等于7的数（等价于实数中的7{\displaystyle {\sqrt {7}}}），但存在平方等于-1的数（等价于复数中的虚数单位i）。一般来说，-1在Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}中有平方根，当且仅当p除以4余1。对不相同的素数p、q，Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}与Qq{\displaystyle \mathbb {Q} _{q}}不同构，并且它们的交集只有Q{\displaystyle \mathbb {Q} }。每一个Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}中的元素个数都是不可数的。

拓扑性质

Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}上的范数|⋅ ⋅ -->|p{\displaystyle |\cdot |_{p}}是一个超度量的范数。它不三角不等式不等式，而且满足更强的关系：

这说明，如果将Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}想象成一个几何空间，那么其中的三角形的一边长度总小于等于另外两边中较长者，也就是说所有的三角形都是锐角等腰三角形。这与实际中的欧式几何空间完全不同。由此Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}与R{\displaystyle \mathbb {R} }具有截然不同的拓扑性质。

在Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}中，一个数列(xn)n∈ ∈ -->N{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}收敛当且仅当xn+1− − -->xn{\displaystyle x_{n+1}-x_{n}}趋于0。一个无穷级数∑ ∑ -->n∈ ∈ -->N{\displaystyle \scriptstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }}un{\displaystyle u_{n}}收敛当且仅当un{\displaystyle u_{n}}趋于0。

考虑Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}中的一个“球”：Br(x0)={x∈ ∈ -->Qp;|x− − -->x0|p⩽ ⩽ -->r}{\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {Q} _{p}\;;\;|x-x_{0}|_{p}\leqslant r\}}。这个球即是开集，也是闭集。这个球中每一个点，都是球的球心。两个球之间或者完全不相交，或者一个完全在另一个里面。

Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}上的拓扑是完全不连通的豪斯多夫空间：设有元素x∈ ∈ -->Qp{\displaystyle x\in \mathbb {Q} _{p}}，则包含x的连通单元只有{x}{\displaystyle \{x\}}.

Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}是由Q{\displaystyle \mathbb {Q} }完备化而得，因此Q{\displaystyle \mathbb {Q} }在Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}中稠密。不仅如此，任意给定有限个素数p1,p2,⋯ ⋯ -->,pk{\displaystyle p_{1},p_{2},\cdots ,p_{k}}和正有理数ϵ ϵ -->>0{\displaystyle \epsilon >0}，并在相应的p进数域中各选定一个数：β β -->1∈ ∈ -->Qp1,β β -->2∈ ∈ -->Qp2,⋯ ⋯ -->,β β -->k∈ ∈ -->Qpk{\displaystyle \beta _{1}\in \mathbb {Q} _{p_{1}},\beta _{2}\in \mathbb {Q} _{p_{2}},\cdots ,\beta _{k}\in \mathbb {Q} _{p_{k}}}后，都可找到有理数ω ω -->{\displaystyle \omega }，它与任一个β β -->i∈ ∈ -->Qpi,i∈ ∈ -->{1,2,⋯ ⋯ -->,k}{\displaystyle \beta _{i}\in \mathbb {Q} _{p_{i}},\;\;i\in \{1,2,\cdots ,k\}}之间的距离都小于ϵ ϵ -->{\displaystyle \epsilon }。

p进整数Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}定义为所有范数不大于1的p进数：Zp={x;|x|p⩽ ⩽ -->1}{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\{x\;;\;|x|_{p}\leqslant 1\}}。这说明Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}就是Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}的单位球。其“球面”为所有范数等于1的p进整数集合：Zp× × -->={x;|x|p=1}{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }=\{x\;;\;|x|_{p}=1\}}，亦即Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}中所有可逆元的集合。Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}是紧致的。所有的整数都是p进整数，整数集合Z{\displaystyle \mathbb {Z} }在Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}中稠密。

Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}中的任一个球Br(x0){\displaystyle B_{r}(x_{0})}都可以表达为x0+pmZp{\displaystyle x_{0}+p^{m}\mathbb {Z} _{p}}，其中的m是使得p− − -->m⩽ ⩽ -->r{\displaystyle p^{-m}\leqslant r}的最小整数。

Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}是局部紧致的。

代数性质

代数上，Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}是Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}的分式域。更准确地说，Qp=Zp[1p]{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\mathbb {Z} _{p}\scriptstyle \left[{\frac {1}{p}}\right]}。也即是说，对每一个x∈ ∈ -->Qp{\displaystyle x\in \mathbb {Q} _{p}}，都存在整数k，使得pkx∈ ∈ -->Zp{\displaystyle p^{k}x\in \mathbb {Z} _{p}}。

Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}是特征为0的主理想整环。Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}的非零理想只有主理想Ik=pkZp{\displaystyle I_{k}=p^{k}\mathbb {Z} _{p}}，其中k是任意自然数。它唯一的极大理想是I1{\displaystyle I_{1}}。根据同构基本定理，Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}对I1{\displaystyle I_{1}}的商同构于有限域Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}。类似地，Zp/pnZp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}同构于Z/pnZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }。

实数域R{\displaystyle \mathbb {R} }只有一个真代数扩张，就是复数域C=R(i){\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} (i)}。C{\displaystyle \mathbb {C} }不仅是代数闭域，而且是完备的。域扩张C/R{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }的次数为2。与此不同的是，Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}的任何有限扩张都不是代数封闭的，Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}的代数闭包是Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}上的无限扩张，一般记作Q¯ ¯ -->p{\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}}。将Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}上的拓扑拓延到Q¯ ¯ -->p{\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}}后会发现，Q¯ ¯ -->p{\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}}并不是完备的空间。使用标准方法将其完备化后，得到的空间称为p进复数，记作Cp{\displaystyle \mathbb {C} _{p}}。Cp{\displaystyle \mathbb {C} _{p}}和复数域C{\displaystyle \mathbb {C} }是代数同构的，可以视为装备了另一种拓扑结构（超度量）的复数域。

如果p是奇数，那么n次单位根属于Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}当且仅当n整除p-1。换句话说，Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}中由单位根构成的群只有Up− − -->1{\displaystyle \mathbb {U} _{p-1}}及其子群。p = 2时，单位根只有1和-1。

应用

数论

p进数对于同余信息有一种独特的编码方法，这在数论里作用很大。例如，困扰数学家长达三百多年的费马最后定理，终于在1994年由安德鲁·怀尔斯使用p进数理论证明，这是数学上的重大突破。怀尔斯因此获得2005年度邵逸夫奖。

量子物理

p进数刚出现时，学者们最初认为这理论属于纯数学领域，毫无任何实用价值。但1968年，两位纯数学研究者A. Monna和F. Van Der Blij首先提出将p进数应用到物理学中。1972年，E. Beltrametti和G. Cassinelli探讨了一种取值为p进数的量子逻辑（英语：quantum logic）状态模型。进入二十世纪八十年代后，p进数在量子物理学中的应用愈为广泛。首先涌现的是p进弦和p进超弦模型。量子物理学家在这些模型中使用与实数拓扑性质不同的p进数，以构建出不同的时空结构，描述在普朗克尺度下与大尺度完全不同的物理现象和行为。在普朗克尺度下，基于实数的模型无法很好的描绘出某些量子特性，而p进数域的某些性质，比如说无序性，和普朗克尺度下的物理特质相近。

p进数量子物理学中的应用也带动了数学中对p进数的研究。例如p进弦论的研究促使数学家展开了对p进数上的分布理论、微分方程及伪微分方程（pseudodifferential equation）、概率论以及p进数上相应希尔伯特空间（装备了额外结构的Cp{\displaystyle \mathbb {C} _{p}}）中的算子谱理论等多方面的研究。

信息编码

p进数的数列展开表示可以被用于信息的编码。因此p进数可以被用来描述很多信息处理的过程，在认知科学、心理学和社会学研究现。

p进动力系统理论

算术动力系统是二十世纪九十年代提出的数学理论，整合了动力系统及数论。传统的离散动力系统会探讨迭代函数在复平面或是实数中的性质。算术动力系统则探讨多项式或解析函数在整数、有理数、p进数及几何点中的迭代特性。p进数动力系统在计算机科学领域中的直线式程序（straight-line programs）问题、数值分析与模拟中的伪随机数问题、密码学中的流加密问题上都有重要作用。在计算机科学和自动机理论中，p进遍历理论可以帮助快速制造大拉丁方。后者在实验设计、软件测试和通信理论中都有良多应用。

参见

p进数分析

亨泽尔引理

马勒定理

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