例子

φ(n) －欧拉φ函数，计算与n互质的正整数之数目

μ(n) －默比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目

gcd(n,k) －最大公因数，当k固定的情况

σ σ --> k {\displaystyle \sigma _{k}} (n):除数函数，n的所有正因数的k次幂之和，当中k可为任何复数。在特例中有：

1(n) －不变的函数，定义为 1(n)=1 （完全积性）

Id(n) －单位函数，定义为 Id(n)=n （完全积性）

Idk(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n （完全积性）

ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若n > 1，ε(n)=0。有时称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）

(n/p) －勒让德符号，p是固定质数（完全积性）

λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目

γ(n)，定义为γ(n)=(-1)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目

所有狄利克雷特征均是完全积性的

性质

积性函数的值完全由质数的幂决定，这和算术基本定理有关。即是说，若将n表示成质因数分解式如 p 1 a 1 p 2 a 2 . . . p k a k {\displaystyle {p_{1}}^{a_{1}}{p_{2}}^{a_{2}}...{p_{k}}^{a_{k}}} ，则 f ( n ) = f ( p 1 a 1 ) f ( p 2 a 2 ) . . . f ( p k a k ) {\displaystyle f(n)=f({p_{1}}^{a_{1}})f({p_{2}}^{a_{2}})...f({p_{k}}^{a_{k}})} 。

若f为积性函数且 f ( p n ) = f ( p ) n {\displaystyle f(p^{n})=f(p)^{n}} ，则f为完全积性函数。

狄利克雷卷积

两个积性函数的狄利克雷卷积必定是积性函数。因此，以卷积为群的运算，所有积性函数组成了一个子群。但注意两个完全积性函数的卷积未必是完全积性的。

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