例子

以下令 K 为体 R 或 C 之一。

常见的欧氏空间 K （其范数为欧几里德范数， x = ( x 1 , …, x n )的范数定义为|| x || = ( x 1 +…+ x n ) ）是巴拿赫空间。因此，因为在每一个有限维 K 向量空间上的所有范数均等价，所以每一个具有任意范数的有限维 K 向量空间都是巴拿赫空间。

考虑一个由定义于闭区间[ a , b ] 上的所有连续函数 ƒ : [ a , b ] → K 所组成的空间。这个空间会成为一个巴拿赫空间（标记为C[ a , b ]），若存在一个定义在此空间中的洽当范数|| ƒ ||。此类范数可以定义为|| ƒ || = sup { | ƒ ( x )| : x ∈ [ a , b ] }，称之为最小上界范数。上述范数是良好定义的，因为定义于闭区间的连续函数都是有界的。

若 f 为一个定义于闭区间上的连续函数，则此函数为有界的，并其定义如上的最小上界可由极值定理取得，因此可以用最大值来取代最小上界。在此例之中，其范数也称为“最大值范数”。

上述空间也可推广至由所有连续函数 X → K （其中 X 为一紧致空间）或所有“有界”连续函数 X → K （其中 X 为任意拓扑空间）所组成的空间，标记为C( X )；或由所有有界函数 X → K （其中 X 为任意集合）所组成的空间，标记为B( X )。在上述所有的例子之中，甚至可以将函数相乘，而乘积还会在原空间内；亦即，上述所有例子实际上都会是有单位的巴拿赫代数。

对每一个开集Ω ⊆ C ，由所有有界解析函数 u : Ω → C 所组成的集合 A (Ω) 会是一个在最小上界范数下的复巴拿赫空间。这可以用解析函数的一致极限也会是解析的这个事实来证明。

设 p ≥ 0 为一实数，考虑由 K 内元素排成的所有其无穷级数∑ i | x i | 为有限的无限序列( x 1 , x 2 , x 3 , …)所组成的空间。这个级数的p次方根即定义为此序列的 p -范数。上述空间和范数即会形成一个巴拿赫空间，标记为ℓ 。

巴拿赫空间ℓ 是由所有在 K 内元素排成的所有有界序列所组成的空间；此类序列的范数定义为序列中每个数字的绝对值的最小上界。

再者，设 p ≥ 1 为一实数，可考虑由所有其| ƒ | 为勒贝格可积的函数 ƒ : [ a , b ] → K 所组成的空间。此函数积分的 p 次方根即定义为其范数。但上述空间和范数不能形成一个巴拿赫空间，因为存在一个范数为零的非零函数。但可定义一个等价关系： f 及 g 为等价当且仅当 ƒ − g 的范数为零。如此，其等价类即可形成一个巴拿赫空间，标记为 L ([ a , b ])。在这里使用勒贝格积分，而不是黎曼积分是有原因的，因为黎曼积分无法形成一个完备空间。这个空间可以再被推广，详细可见L p 空间。

线性变换空间

假设 V 和 W 是同一个数域 K 上的巴拿赫空间，所有线性变换 A : V → W 的集合记为 L( V , W )。注意：在无限维空间中，线性变换未必是连续的。L( V , W ) 本身是一个向量空间。

定义 || A || = sup { || Ax || : || x || ≤ 1 }，可以验证这是 L( V , W ) 上的一个范数，使得 L( V , W ) 成为一个巴拿赫空间。如果还将映射的复合运算定义为线性变换的乘法，则 L( V ) = L( V , V ) 构成一个有单位元的巴拿赫代数。

另见

巴拿赫代数

对偶空间

希尔伯特空间

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。