证明

以下给出 g=0{\displaystyle g=0} 时的证明。假设 u 是使得

最小的并且几乎处处二次可导，并且在边界∂ ∂ -->Ω Ω -->{\displaystyle \partial \Omega }上满足v=0{\displaystyle v=0}的函数v{\displaystyle v}，那么对于任意一个满足边界条件的函数 w{\displaystyle w}，任意正实数ε ε -->{\displaystyle \varepsilon }都有：

即

上式左侧是一个关于ε ε -->{\displaystyle \varepsilon }的二次多项式，并且在 ε ε -->=0{\displaystyle \varepsilon =0} 的时候取到最小值，所以有：

另一方面，由于函数 w{\displaystyle w} 满足边界条件，即在 ∂ ∂ -->Ω Ω -->{\displaystyle \partial \Omega } 上满足 w=0{\displaystyle w=0}，因此有：

这个结果对所有满足边界条件的函数 w{\displaystyle w} 都成立，因此根据变分法基本引理，可以得到Δ Δ -->u+f=0{\displaystyle \Delta u+f=0}

参见

普拉托问题

格林第一公式

参考来源

Courant, R., Dirichlet"s Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces. Appendix by M. Schiffer, Interscience, 1950 

Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 978-0821807729 

MathWorld上Dirichlet"s Principle的资料，作者：埃里克·韦斯坦因。

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