定义

若一正整数的质因数均不大于 B ，此整数即为 B -光滑数。例如1620的因数分解为2 × 3 × 5，质因数均不大于5，因此1620是5-光滑数。

10和12的因数分解分别为2 × 5和2 × 3，二者质因数也都不大于5，因此二者均是是5-光滑数，虽然其质因数未包括不大于5的所有质数，但仍然可以是5-光滑数。

5-光滑数常称为正规数或汉明数（Hamming numbers）。7-光滑数有时会称为“谦虚数”或“高合成数” ，不过后者会和以因数个数来定义的高合成数混淆。

B -光滑数的 B 不一定要是质数，例如上述举例的10和12不但是5-光滑数，也是6-光滑数（质因数都不大于6）。一般而言会选择 B 为质数的 B -光滑数，但 B 也可以是合数。一正整数为 B -光滑数当且仅当正整数为 p -光滑数，且 p 是小于等于 B 的最大质数。

应用

有些快速傅里叶变换算法中会用到光滑数，例如库利－图基快速傅里叶变换算法会将问题一直分解为较小的问题，其大小为原问题大小的因数，若原问题大小是 B 原问题大小，原问题可以分解为许多很小的问题，此情形有有快速的算法，若大小是较大的质数，就要应用像是Chirp-Z 转换之类效率较差的算法。

5-光滑数〈或称为正规数〉在巴比伦数学中有重要的角色 ，在音乐理论中也很重要 。有一个函数编程语言的问题就是要产生正规数 。

密码学中也有应用光滑数 。虽然大部分的密码学都会用到密码分析（已知最快的因数分解算法），但 VSH （ 英语 ： Very smooth hash ） 杂凑函数利用光滑数来取得 可证安全加密散列函数 （ 英语 ： Provably secure cryptographic hash function ） 。

分布

令 Ψ Ψ --> ( x , y ) {\displaystyle \scriptstyle \Psi (x,y)} 表示小于等于 x 的 y -光滑数的个数（de Bruijn函数）。

若 B 为定值且数值很小，可以用下式估计 Ψ Ψ --> ( x , B ) {\displaystyle \scriptstyle \Psi (x,B)} :

其中 π π --> ( B ) {\displaystyle \scriptstyle {\pi (B)}} 为小于等于 B {\displaystyle \scriptstyle B} 的质数个数。

否则，定义参数 u = log x / log y ：因此， x = y ，则：

其中 ρ ρ --> ( u ) {\displaystyle \scriptstyle \rho (u)} 为 Dickman函数 （ 英语 ： Dickman function ） 。

幂次光滑数

若所有可以整除 m 的质数幂次 p i n i {\displaystyle \scriptstyle p_{i}^{n_{i}}} 满足以下方程，则 m 为 B -幂次光滑数：

例如，2 3 5 为5-光滑数，但不是5-幂次光滑数。因为其最大的质数幂次为2 ，该数为16-幂次光滑数，也是17-幂次光滑数，18-幂次光滑数……。

数论中有用到 B -光滑数及 B -幂次光滑数。例如 波拉德p-1算法 （ 英语 ： Pollard"s p − 1 algorithm ） ，这类算法一般会应用在光滑数中，但不会特别标示光滑数的 B 是多少。此时的 B 需是一个较小的整数，若 B 增加，算法的效率就会迅速的变差。例如计算离散对数的 Pohlig–Hellman算法 （ 英语 ： Pohlig–Hellman algorithm ） 的时间复杂度是O( B )。

相关条目

粗糙数

Størmer定理 （ 英语 ： Størmer"s theorem ）

高合成数

外部链接

MathWorld上 Smooth Number 的资料，作者：埃里克·韦斯坦因。

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