证明

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若质数 p | a b {\displaystyle p|ab} ，则不是 p | a {\displaystyle p|a} ，就是 p | b {\displaystyle p|b} 。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

大于1的自然数必可写成素数之积

用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。

自然数可以根据其 可除性 （是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义， n 大于1。其次， n 不是质数，因为质数p可以写成质数乘积：p=p，这与假设不相符合。因此n只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设 n = a × × --> b {\displaystyle n=a\times b} ，其中 a 和 b 都是介于1和 n 之间的自然数，因此，按照 n 的定义， a 和 b 都可以写成质数的乘积。从而 n = a × × --> b {\displaystyle n=a\times b} 也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性

引理：若质数 p | a b {\displaystyle p|ab} ，则不是 p | a {\displaystyle p|a} ，就是 p | b {\displaystyle p|b} 。

引理的证明：若 p | a {\displaystyle p|a} 则证明完毕。若 p ∤ ∤ --> a {\displaystyle p\nmid a} ，那么两者的最大公约数为1。根据裴蜀定理，存在 ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} 使得 m a + n p = 1 {\displaystyle ma+np=1} 。于是 b = b ( m a + n p ) = a b m + b n p {\displaystyle b=b(ma+np)=abm+bnp} 。 由于 p | a b {\displaystyle p|ab} ，上式右边两项都可以被 p 整除。所以 p | b {\displaystyle p|b} 。

再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设 n 是最小的一个。

首先 n 不是质数。将 n 用两种方法写出： n = p 1 p 2 p 3 ⋯ ⋯ --> p r = q 1 q 2 q 3 ⋯ ⋯ --> q s {\displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} 。根据引理，质数 p 1 | q 1 q 2 q 3 ⋯ ⋯ --> q s {\displaystyle p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} ，所以 q 1 , q 2 , q 3 ⋯ ⋯ --> q s {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s}} 中有一个能被 p 1 {\displaystyle p_{1}} 整除，不妨设为 q 1 {\displaystyle q_{1}} 。但 q 1 {\displaystyle q_{1}} 也是质数，因此 q 1 = p 1 {\displaystyle q_{1}=p_{1}} 。所以，比n小的正整数 n ′ = p 2 p 3 ⋯ ⋯ --> p r {\displaystyle n"=p_{2}p_{3}\cdots p_{r}} 也可以写成 q 2 q 3 ⋯ ⋯ --> q s {\displaystyle q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} 。这与 n 的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

相关

在一般的数域中，并不存在相应的定理；事实上，在虚二次域 Q ( − − --> D ) ( D ∈ ∈ --> N ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-D}})\quad (D\in \mathbb {N} )} 之中，只有少数几个能满足，最大的一个 D {\displaystyle D} 是 D = 163 {\displaystyle D=163} 。例如， 6 {\displaystyle 6} 可以以两种方式在 Z [ − − --> 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} 中表成整数乘积： 2 × × --> 3 {\displaystyle 2\times 3} 和 ( 1 + − − --> 5 ) ( 1 − − --> − − --> 5 ) {\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})} 。同样的，在分圆整数中一般也不存在唯一分解性，而这恰恰是人们在证明费马大定理时所遇到的陷阱之一。

欧几里得在普通整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 中证明了算术基本定理──每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数 Z [ − − --> 1 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} 中得出并证明，只要不计四个可逆元素 ( ± ± --> 1 , ± ± --> i ) {\displaystyle (\pm 1,\pm i)} 之作用，那么这个唯一分解定理在 Z [ − − --> 1 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} 也成立。高斯还指出，包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能扩大到复数域。

高斯类数

对于二次方程： a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ ≠ --> 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)} ，它的根可以表示为：

因为负数不能开平方， b 2 − − --> 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} 的符号就很重要，如果为正，有两个根；如果为0，只有一个根；如果为负， 没有欧拉。欧拉的素数公式：： f ( x ) = x 2 + x + 41 ( a ≠ ≠ --> 0 ) {\displaystyle f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)} ， b 2 − − --> 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} =1-164=-163,两个复数解：

a + b − − --> d {\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}} ,哪个d值使你得到唯一分解定理？ d=1,2,3都是可以得到定理，d=5时，就不能够。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解（分解至不可分约的情形）。 6=2×3；6= ( 1 + − − --> 5 ) ( 1 − − --> − − --> 5 ) {\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})} 。在高斯时代，知道有9个d使得 a + b − − --> d {\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}} ,所产生的数有唯一因子分解（a，b如上面指出那样取值）。 d=1,2,3,7,11,19,43,67,163.高斯认为不会超过10个数。但是没有人能够证明。 瑞士52年库尔特数学家，退休的瑞士工程师库尔特·黑格纳（kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后斯塔克这个定理：麻省理工学院的斯塔克（H arold贝克tark）和剑桥大学的阿兰贝克 （AlanBaker）独立用不同方法证明了第10个d值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作，发现他的证明是正确的。 为了记念长期被忽视的希格内尔，上述的9个数被称为黑格纳数，一些曲线上的点被命名为希格内尔点。 参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。

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