定义

设 ( G , ∗ ∗ --> ) {\displaystyle (G,*)} 为群，如果其内的正规子群只有 G {\displaystyle G} 本身与单位元 e {\displaystyle e} 组成的群（平凡群） { e } {\displaystyle \{e\}} ，则称之为 单群 。

例子

有限单群

循环群 G = Z /3 Z ，即模3的同余类在加法运算下形成的群是单群。这是因为，若 H 是这个群的一个子群，则它的阶一定是群 G 的阶3的约数，因为3是素数，所以 H 只能是 G 或者平凡群。另一方面，群 G = Z /12 Z 就不是单群。因为任意阿贝尔群的子群一定是正规子群，且12为合数，故很容易找到它的一个非平凡正规子群。例如，由模12余0，4，8的同余类组成的子群就是它的一个阶为3的正规子群。类似地，整数集 Z 与加法运算组成的群也不是单群，由偶数集2 Z 和加法组成的群是它的一个非平凡正规子群 。

按照上面的方法可以证明，阿贝尔单群只有素数阶循环群。最小的非阿贝尔单群是交错群 A 5 {\displaystyle A_{5}} ，它的阶是60，而且可以证明每一个阶为60的单群都与 A 5 {\displaystyle A_{5}} 同构 。第二小的非阿贝尔单群是射影特殊线性群 P S L ( 2 , 7 ) {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)} ，它的阶是168。可以证明，阶为168的单群都与 P S L ( 2 , 7 ) {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)} 同构 。

P S L ( 2 , 7 ) {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)} 是有限域上的典型群的一个例子，它也是一个有限阶李群。除了素数阶循环群、交错群和有限阶李群（包括典型群和例外或缠绕李群）之外的有限单群统称为散在群，详见有限单群分类。

无限阶单群

无限阶交错群，即由整数的所有偶置换组成的群 A ∞ ∞ --> {\displaystyle A_{\infty }} 是单群。另一个无限阶单群的例子是域 F {\displaystyle F} 上的射影特殊线性群 P S L n ( F ) {\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(F)} ，其中 n ≥ ≥ --> 3 {\displaystyle n\geq 3} 。

相比之下，要构造 有限生成 的无限阶单群就困难得多，最早的例子由 格雷厄姆·希格曼 （ 英语 ： Graham Higman ） 提出，它是 希格曼群 （ 英语 ： Higman group ） 的子群 。 其它的例子包括汤普森群 T 和 V 。有限表现无挠(torsion-free)的无限单群被伯格-莫泽什(Burger-Mozes)构建。

分类

到目前为止，未有对一般单群进行分类的方法。

有限单群

有限单群是很重要的，因为在一定意义上，它们是所有有限群的“基本组成部分”，有点类似于素数是整数的基本组成部分。

有限单群的结构

法伊特－汤普森定理声称，所有的奇数阶群都是可解群。 因此，除素数阶循环群外，所有有限单群的阶都是偶数。

群的非单性判据

西罗测试：设 n 为一正合数， p 是它的一个素因子。 若在 n 的所有约数中只有 1 模 p 同余于 1，则不存在阶为 n 的单群。

证明：如 n 为一素数幂，则阶数为 n 的群有非平凡的中心 ，因而不是单群。若 n 不是素数幂，则阶数为 n 的群的每一个西罗子群都是真子群，由西罗第三定理可知， 阶数为 n 的群的西罗 p -子群的个数模 p 同余于1且为 n 的约数。但由上面的假设，这样的数只有1，这表明该群只有一个西罗 p -子群，因此，根据西罗定理，该西罗子群是正规子群。根据上面的讨论，它又是一个真子群，从而它是阶数为 n 的群的一个非平凡正规子群，所以阶数为 n 的群不是单群。

重要性

“单群”之“单”在于它们不能再化约为较容易处理的群，因为正规子群 H {\displaystyle H} 可以对将 G {\displaystyle G} 的一部分研究化约为对商群 G / H {\displaystyle G/H} 与 H {\displaystyle H} 的研究，而对单群无法行此化约。

有限单群之于有限群论，一如素数之于整数论；它们可以被视为有限群的基本构件。

参阅

特征单群 （ 英语 ： Characteristically simple group ）

准单群 （ 英语 ： Quasisimple group ）

有限单群列表 （ 英语 ： List of finite simple groups ）

教科书

Knapp, Anthony W., Basic algebra, Springer, 2006, ISBN 978-0-8176-3248-9

Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Graduate texts in mathematics 148 , Springer, 1995, ISBN 978-0-387-94285-8

Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga, Topics in group theory, Springer undergraduate mathematics series 2, Springer, 2000, ISBN 978-1-85233-235-8

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