简介

形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处。对于熟悉幂级数的读者，也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性，也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象，而不是任何具体数值的时候写出的幂级数。举例来说，以下的级数式子：

如果我们把它当成幂级数来研究的话，重点会放在它的收敛半径等于1、其对应的幂级数函数是否满足某些性质等等。但作为形式幂级数来研究时，我们关注的是它本身的结构。我们甚至可以把它简写为：[1,− − -->3,5,− − -->7,9,⋯ ⋯ -->]{\displaystyle [1,-3,5,-7,9,\cdots ]}这样，只关注它的系数。我们完全可以考虑各种系数的形式幂级数。比如说系数为阶乘的形式幂级数：[1,1,2,6,24,120,,⋯ ⋯ -->]{\displaystyle [1,1,2,6,24,120,,\cdots ]}，即使说它对应的幂级数：

在X{\displaystyle X}取任何的非零实数值时都不收敛，我们仍然可以将其作为形式幂级数进行运算。

和多项式环中的元素一样，形式幂级数之间也可以做加减和乘法的运算，具体的计算方式和多项式环一样。比如说设：

那么A{\displaystyle A}与B{\displaystyle B}的和就是：

其中A+B{\displaystyle A+B}里面X3{\displaystyle X^{3}}的系数就是A{\displaystyle A}与B{\displaystyle B}中X3{\displaystyle X^{3}}的系数的和；AB{\displaystyle AB}里面X5{\displaystyle X^{5}}的系数就是A{\displaystyle A}与B{\displaystyle B}中X{\displaystyle X}的阶数相加等于5的项的系数乘积的和：

对每个确定的阶数n{\displaystyle n}，这个计算是有限项（至多n+1{\displaystyle n+1}项）的相加，所以在计算形式幂级数的加减法和乘法的时候，不需要像在对幂级数进行计算时一样，考虑诸如是否绝对收敛、条件收敛或是一致收敛的问题。另外，如多项式的形式运算一样，形式幂级数也满足加法的交换律、加法的结合律、乘法的交换律、乘法的结合律以及乘法对加法的分配律。

形式幂级数不仅能够定义乘法，也能定义乘法逆的运算。一个形式幂级数A{\displaystyle A}的逆是指另一个形式幂级数C{\displaystyle C}，使得AC=1{\displaystyle AC=1}. 如果这样的形式幂级数C{\displaystyle C}存在，就是唯一的，将其记为A− − -->1{\displaystyle A^{-1}}。同时我们也可以定义形式幂级数的除法：当A{\displaystyle A}的逆存在时，B/A=B⋅ ⋅ -->A− − -->1.{\displaystyle B/A=B\cdot A^{-1}.} 比如说，可以很容易验证：

形式幂级数上的一个重要映射是系数的提取操作：将一个形式幂级数映射到它的Xn{\displaystyle X^{n}}的系数。这个操作常常记作[Xn]{\displaystyle [X^{n}]}，比如说对形式幂级数A=1− − -->3X+5X2− − -->7X3+9X4− − -->11X5+⋯ ⋯ -->.{\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .}，就有：

对以上定义的形式幂级数B{\displaystyle B}，也有：[X3]B=4{\displaystyle [X^{3}]B=4}。又比如：[X2](X+3X2Y3+10Y6)=3Y3{\displaystyle [X^{2}](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})=3Y^{3}}，[X2Y3](X+3X2Y3+10Y6)=3{\displaystyle [X^{2}Y^{3}](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})=3}。提取映射和多项式环中的对应映射一样，都可以看做是到一个子空间的投影映射。

形式幂级数的环结构

所有的不定元为X{\displaystyle X}，系数为某一个交换环R{\displaystyle R}上元素的形式幂级数构成一个环，称为R{\displaystyle R}上变量为X{\displaystyle X}的形式幂级数环，记作R[[X]]{\displaystyle R[[X]]}。

定义

R[[X]]{\displaystyle R[[X]]}可以定义为R{\displaystyle R}上变量为X{\displaystyle X}的多项式环完备化（对于特定的度量）后得到的。这个定义自然就赋予了R[[X]]{\displaystyle R[[X]]}以拓扑环的结构（同时也赋予了完备度量空间的结构）。不过空间完备化所需要的步骤过于繁琐，而建构R[[X]]{\displaystyle R[[X]]}所需要的并没有那么多。以下将对R[[X]]{\displaystyle R[[X]]}的环结构和拓扑结构分别定义，更为明晰，容易理解。

环结构

首先可以定义集合R[[X]]{\displaystyle R[[X]]}的范围。作为一个集合，R[[X]]{\displaystyle R[[X]]}可以用和RN{\displaystyle R^{\mathbb {N} }}一样的方法构造。RN{\displaystyle R^{\mathbb {N} }}是所有R{\displaystyle R}上元素构成的数列(an)n∈ ∈ -->N{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}的集合：

RN{\displaystyle R^{\mathbb {N} }}中的元素可以定义加法和乘法：

其中乘法的定义方法也叫做求两个数列的系数的柯西乘积，也是一种卷积。可以证明，在以上的定义下，RN{\displaystyle R^{\mathbb {N} }}是一个交换环。环的加法零元是(0,0,0,...){\displaystyle (0,0,0,...)}，乘法幺元是(1,0,0,...){\displaystyle (1,0,0,...)}。于是我们可以将R{\displaystyle R}中的元素嵌入到RN{\displaystyle R^{\mathbb {N} }}之中，

并将(0,1,0,0,...){\displaystyle (0,1,0,0,...)}映射到不定元X{\displaystyle X}，这样通过以上定义的加法和乘法就可以将RN{\displaystyle R^{\mathbb {N} }}中的有限非零元元素同构为：

这样的结构和多项式环是一样的。所以对于更一般的RN{\displaystyle R^{\mathbb {N} }}中元素(an)n∈ ∈ -->N{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}，就可以自然地希望将其对应到∑ ∑ -->i∈ ∈ -->NaiXi{\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}}：

但这个对应方式并不能通过有限项的加法和乘法得到，所以需要用一个约定上的映射φ φ -->:RN→ → -->R[[X]]{\displaystyle \varphi :\,R^{\mathbb {N} }\rightarrow R[[X]]}来做到：

这个映射涵盖了之前的多项式的定义，并且可以定义

以及

这个定义使得φ φ -->{\displaystyle \varphi }同态个同态，所以R[[X]]{\displaystyle R[[X]]}也是一个交换环。

拓扑结构

以上的定义中建立了映射

但需要注意的是这里的定义中∑ ∑ -->i=0∞ ∞ -->aiXi{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}}还是一个符号性的对象，因为我们并没有定义其中无限求和号的意义。为了更好地定义∑ ∑ -->i=0∞ ∞ -->aiXi{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}}本身，我们需要引入拓扑的结构，将其作为极限来严格地说明。需要注意的是，适合的拓扑结构不止一个。

我们可以在R{\displaystyle R}上定义离散拓扑的结构，然后将RN{\displaystyle R^{\mathbb {N} }}作为可数个R{\displaystyle R}的积空间，将其上的拓扑定义为积拓扑。

我们也可以直接在RN{\displaystyle R^{\mathbb {N} }}上定义类似于p进数拓扑的I{\displaystyle I}进拓扑，其中的I=(X){\displaystyle I=(X)}是环结构中由X{\displaystyle X}生成的理想，也就是由所有∑ ∑ -->i=1∞ ∞ -->aiXi{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}X^{i}}形式的形式幂级数构成的集合。

对不熟悉一般的点集拓扑学的读者，也可以建立一个具体的度量（也就是定义“距离”）来定义拓扑。比如定义两个数列a=(an)n∈ ∈ -->N{\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}和b=(bn)n∈ ∈ -->N{\displaystyle b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}的距离： d(a,b)={2− − -->ω ω -->(a− − -->b)a− − -->b≠ ≠ -->00a− − -->b=0{\displaystyle d(a,b)={\begin{cases}2^{-\omega (a-b)}&\quad a-b\neq 0\\0&\quad a-b=0\end{cases}}}

其中ω ω -->(s){\displaystyle \omega (s)}表示数列s=(sn)n∈ ∈ -->N{\displaystyle s=(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }}中第一个不等于0的系数的下标。这样的定义之下，我们说两个数列如果越来越“接近”，那么第一个系数不同的地方会出现的越晚，也就是说它们的距离也越小。对一个数列a=(an)n∈ ∈ -->N{\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}，定义部分和数列为：

那么部分和sk{\displaystyle s_{k}}和a{\displaystyle a}的距离就会是2− − -->(k+1){\displaystyle 2^{-(k+1)}}，所以k{\displaystyle k}趋于无穷大的时候，部分和数列和a{\displaystyle a}的距离趋于0. 这样，在定义了有限项非零元的数列和多项式的关系以后，就可以将任意的数列定义为部分和数列的极限。

然后对形式幂级数也定义类似的距离：

然后形式幂级数也就满足：

并且可以验证加法、乘法的交换律和结合律，以及乘法对加法的结合律。于是我们定义出了一个同构于RN{\displaystyle R^{\mathbb {N} }}的拓扑环，将其称为R{\displaystyle R}上的形式幂级数环R[[X]]{\displaystyle R[[X]]}。

参考来源

Nicolas Bourbaki: Algebra, IV, §4. Springer-Verlag 1988.

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