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正定矩阵

2020-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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定义一个n×n的实对称矩阵M{displaystyleM}是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zM{displaystyleM}z>0。其中z表示z的转置。对于复数

定义

一个n×n的实对称矩阵M{\displaystyle M}是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zM{\displaystyle M}z > 0。其中z表示z的转置。

对于复数的情况，定义则为：一个n×n的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵)M{\displaystyle M}是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有zM{\displaystyle M}z > 0。其中z表示z的共轭转置。由于M{\displaystyle M}是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量z，zM{\displaystyle M}z必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。

正定阵的判别

对n×n的埃尔米特矩阵M{\displaystyle M}，下列性质与“M{\displaystyle M}为正定矩阵”等价：

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的Cn{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}改为Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。

二次型

由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件：用K{\displaystyle \mathbb {K} }代表C{\displaystyle \mathbb {C} }或R{\displaystyle \mathbb {R} }，设V{\displaystyle \mathbb {V} }是K{\displaystyle \mathbb {K} }上的一个向量空间。一个埃尔米特型：

是一个双线性映射，使得B（x, y）总是B（y, x）的共轭。这样的一个映射B是正定的当且仅当对V{\displaystyle \mathbb {V} }中所有的非零向量x，都有B(x, x) > 0。

负定、半定及不定矩阵

与正定矩阵相对应的，一个n×n的埃尔米特矩阵M{\displaystyle M}是负定矩阵当且仅当对所有不为零的x∈ ∈ -->Rn{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}（或x∈ ∈ -->Cn{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}），都有：

M{\displaystyle M}是半正定矩阵当且仅当对所有不为零的x∈ ∈ -->Rn{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}（或x∈ ∈ -->Cn{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}），都有：

M{\displaystyle M}是半负定矩阵当且仅当对所有不为零的x∈ ∈ -->Rn{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}（或x∈ ∈ -->Cn{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}），都有：

可以看出，上一节中正定阵的等价性质1只需略作相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当M是半正定时，相应的Gram矩阵不必由线性无关的向量组成。对任意矩阵A{\displaystyle A}，AA必然是半正定的，并有rank(A{\displaystyle A}) = rank（AA，两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作M = AA，这就是Cholesky分解。

一个埃尔米特矩阵M是负定矩阵当且仅当M的所有奇数阶顺序主子式小于0，所有偶数阶顺序主子式大于0。当M是负定矩阵时，M的逆矩阵也是负定的。

如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵。