历史

Burnside 将其归功于Jordan ，但是 Eric Nummela 争论说这个定理的名字“凯莱定理”事实上是合适的。凯莱在他最初介绍群概念的1854年论文 中证明了定理中的对应是一一对应，但是没能明确的证明它是同态(因此是同构)。但是，Nummela提示大家注意凯莱让当时的数学界知道了这个结果，因此比Jordan要提前了16年。

定理的证明

从初等群论中，知道了对于任何 G 中元素 g 必然有 g * G = G ；并通过消除规则知道了 g * x = g * y 当且仅当 x = y 。所以左乘 g 充当了双射函数 f g : G → G ，通过定义 f g ( x ) = g * x 。所以， f g 是 G 的置换，并因此是Sym( G )的成员。

Sym( G )的子集 K 定义为

是同构于 G 的Sym( G )的子群。得出这个结果的最快方式是考虑函数 T : G → Sym( G )对于所有 G 中的 g 有着 T ( g ) = f g 。(对Sym( G )中的复合使用"·")， T 是群同态因为：

同态 T 也是单射因为： T ( g ) = id G （Sym( G )的单位元）蕴含了对于所有 G 中的 x 有 g*x = x ，选取 x 为 G 的单位元 e 产生 g = g * e = e 。可替代的， T ( g )也是单射因为： g * x = g * x" 蕴含 x = x" （通过左乘上 g 的逆元，因为 G 是群所以一定存在）。

因此 G 同构于 T 的像，它是子群 K 。

T 有时叫做 G 的正规表示。

另一个的证明

另一个证明使用了群作用的语言。考虑群 G {\displaystyle G} 为G-集合，可以证明它有置换表示 ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi } 。

首先假设 G = G / H {\displaystyle G=G/H} 带有 H = { e } {\displaystyle H=\{e\}} 。则根据G-轨道分类这个群作用是 g . e {\displaystyle g.e} （也叫做轨道-稳定集定理）。

现在这个表示是忠实的，如果 ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi } 是单射，就是说，如果 ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi } 的核是平凡的。假设 g {\displaystyle g} ∈ ker ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi } ，则 g = g . e = ϕ ϕ --> ( g ) . e {\displaystyle g=g.e=\phi (g).e} ，通过置换表示和群作用的等价性。但是因为 g {\displaystyle g} ∈ ker ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi } , ϕ ϕ --> ( g ) = e {\displaystyle \phi (g)=e} 并因此ker ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi } 是平凡的。则im ϕ ϕ --> < G {\displaystyle \phi 并因此利用第一同构定理得出结论。

对正规群表示的注记

单位元对应于恒等置换。所有其他的群元素对应于不留下任何元素不变的置换。会因为这也适用于群元素的幂，小于这个元素的阶，每个元素对应于由相同长度的环构成的置换：这个长度是这个元素的阶。在每个环中的元素形成了这个元素生成的子群的左陪集。

正规群表示的例子

Z 2 = {0,1}带有模2加法，群元素0对应于恒等置换e，群元素1对应于置换 (12)。

Z 3 = {0,1,2}带有模3加法；群元素0对应于恒等置换e，群元素1对应于置换 (123)，而群元素2对应于置换 (132)。比如1 + 1 = 2对应于 (123)(123)=(132)。

Z 4 = {0,1,2,3}带有模4加法；它的元素对应于e, (1234), (13)(24), (1432)。

克莱因四元群{e, a, b, c}的元素对应于e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。

S 3 （6阶二面体群）是三个对象的所有置换的群，但也是6个群元素的置换群：

参见

米田引理

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