定义

有限冲激响应滤波器是一线性系统，输入信号，x(0),x(1),...,x(n){\displaystyle x(0),x(1),...,x(n)}，经过该系统后的输出信号，y(n){\displaystyle y(n)}可表示为：

其中，h0,h1,...,hN{\displaystyle h_{0},h_{1},...,h_{N}}是滤波器的冲激响应，通常称为滤波器的系数。N{\displaystyle N}是滤波器的阶数。上式也可表示为：

如果输入信号为脉冲信号δ δ -->(n){\displaystyle \delta (n)}，

输出信号则为：

这也是冲激响应hn{\displaystyle h_{n}}得名的原因，即，它是滤波器脉冲输入的响应。 有限冲激响应滤波器的传递函数可由其冲激响应的z变换获得：

因此，有限冲激响应滤波器的频率响应为：

特性

有限冲激响应滤波器（FIR filter）的优点：

冲激响应（impulse response）为有限长：造成当输入数字信号为有限长的时候，输出数字信号也为有限长。

比无限冲激响应滤波器（IIR filter）较容易最佳化（optimize）。

线性相位（linear phase）：造成h(n){\displaystyle h(n)\,}是偶对称（even）或奇对称（odd）且有限长。

一定是稳定的（stable）：因为Z变换（Z transform）后所有的极点（pole）都在单位圆内。

有限冲激响应滤波器（FIR filter）的缺点：

设计方式较无限冲激响应滤波器（IIR filter）不容易。

设计方法

1. least MSE（mean square error）：最小化平均误差。

2. Minimax（又称Remez exchange algorithm）：最小化最大误差。

3. Frequency sampling：所设计出的滤波器的频谱某些频率采样点与欲设计滤波器频谱的相同频率采样点的响应一样。

滤波器设计方法的比较

以下尝试以滤波器设计方法、设计方法的限制、以及所设计滤波器的效果三方面，来比较最小化平均误差（Least MSE）、最小化最大误差（Minimax）与频率采样（Frequency sampling）三种设计方法的差异。

1.以设计方法而论

Least MSE：使用到内积以及反矩阵的运算。

Minimax：使用recursive的方式，所以相对而言较为复杂。

Frequency sampling：利用到inverse fourier transform，就想法而言是最简单的。

2.以方法的限制而论

Least MSE：使用上的限制较少。

Minimax：所设计滤波器必须要是偶对称或是奇对称才可以，且必须要有变换频带（transition band）

Frequency sampling：无法使用权重函数（weighting function），且变换频带的加入也很难做到最佳化。

3.以效果而论

Least MSE：平均误差最小，一般而言系统稳定性较好。

Minimax：最大误差最小，一般而言表现较好，且可以保证系统的运作在一定的误差内。

Frequency sampling：很难做到最佳化，且容易有aliasing effect、Gibb’s phenomenon等等缺点，所以是较不普及的设计方法。

参考文献

Jian-Jiun Ding (2013),Advanced Digital Signal Processing[viewed 27/06/2013]

数字信号处理

数字滤波器

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