矩阵表示

右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为：

不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示： ⟨ ⟨ --> ϕ ϕ --> | ψ ψ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle } ，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为： ⟨ ⟨ --> e i | e j ⟩ ⟩ --> = δ δ --> i j {\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}} （ δ δ --> i j {\displaystyle \delta _{ij}} 为克罗内克函数）

相同的态矢量内积为： ⟨ ⟨ --> ψ ψ --> | ψ ψ --> ⟩ ⟩ --> = ∑ ∑ --> i | ψ ψ --> i | 2 {\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}|\psi _{i}|^{2}} 。

性质

因为每个右矢是一复数希尔伯特空间中的一个矢量，而每个右矢-左矢关系是内积，而直接地可以得到如下的操作方式：

给定任何左矢 ⟨ ⟨ --> ϕ ϕ --> | {\displaystyle \langle \phi |} 、右矢 | ψ ψ --> 1 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 以及 | ψ ψ --> 2 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } ，还有复数 c 1 及 c 2 ，则既然左矢是线性泛函，根据线性泛函的加法与标量乘法的定义，

给定任何右矢 | ψ ψ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi \rangle } 、左矢 ⟨ ⟨ --> ϕ ϕ --> 1 | {\displaystyle \langle \phi _{1}|} 以及 ⟨ ⟨ --> ϕ ϕ --> 2 | {\displaystyle \langle \phi _{2}|} ，还有复数 c 1 及 c 2 ，则既然右矢是线性泛函，

给定任何右矢 | ψ ψ --> 1 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 及 | ψ ψ --> 2 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } ，还有复数 c 1 及 c 2 ，根据内积的性质（其中c*代表c的复数共轭），

给定任何左矢 ⟨ ⟨ --> ϕ ϕ --> | {\displaystyle \langle \phi |} 及右矢 | ψ ψ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi \rang公理 } ，内积的一个公理性质指出

给定任何算符 X {\displaystyle X} 、左矢 ⟨ ⟨ --> ϕ ϕ --> | {\displaystyle \langle \phi |} 及右矢 | ψ ψ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi \rangle } ，它们之间的合法相乘满足乘法结合公理，例如，

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