例子

举例明之，实数域并非代数闭域，因为下列实系数多项式无实根：

同理可证有理数域非代数闭域。此外，有限域也不是代数闭域，因为若 a 1 , … … --> , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} 列出 F {\displaystyle F} 的所有元素，则下列多项式在 F {\displaystyle F} 中没有根：

反之，复数域则是代数闭域；这是代数基本定理的内容。另一个代数闭域之例子是代数数域。

等价的刻划

给定一个域 F {\displaystyle F} ，其代数封闭性与下列每一个性质等价：

不可约多项式当且仅当一次多项式

域 F 是代数闭域，当且仅当环 F [ x ]中的不可约多项式是而且只能是一次多项式。

“一次多项式是不可约的”的断言对于任何域都是正确的。如果 F 是代数闭域， p ( x )是 F [ x ]的一个不可约多项式，那么它有某个根 a ，因此 p ( x )是 x − a 的一个倍数。由于 p ( x )是不可约的，这意味着对于某个 k ∈ F \ {0}，有 p ( x ) = k ( x − a )。另一方面，如果 F 不是代数闭域，那么存在 F [ x ]内的某个非常数多项式 p ( x )在 F 内没有根。设 q ( x )为 p ( x )的某个不可约因子。由于 p ( x )在 F 内没有根，因此 q ( x )在 F 内也没有根。所以， q ( x )的次数大于一，因为每一个一次多项式在 F 内都有一个根。

每一个多项式都是一次多项式的乘积

域 F 是代数闭域，当且仅当每一个系数位于次数 F 内的 n ≥ 1的多项式 p ( x )都可以分解成线性因子。也就是说，存在域 F 的元素 k ， x 1 ， x 2 ， ……， x n ，使得 p ( x ) = k ( x − x 1 )( x − x 2 ) ··· ( x − x n )。

如果 F 具有这个性质，那么显然 F [ x ]内的每一个非常数多项式在 F 内都有根；也就是说， F 是代数闭域。另一方面，如果 F 是代数闭域，那么根据前一个性质，以及对于任何域 K ，任何 K [ x ]内的多项式都可以写成不可约多项式的乘积，推出这个性质对 F 成立。

F 的每一个自同态都有特征向量

域 F 是代数闭域，当且仅当对于每一个自然数 n ，任何从 F 到它本身的线性映射都有某个特征向量。

F 的自同态具有特征向量，当且仅当它的特征多项式具有某个根。因此，如果 F 是代数闭域，每一个 F 的自同态都有特征向量。另一方面，如果每一个 F 的自同态都有特征向量，设 p ( x )为 F [ x ]的一个元素。除以它的首项系数，我们便得到了另外一个多项式 q ( x )，它有根当且仅当 p ( x )有根。但如果 q ( x ) = x + a n − 1 x + ··· + a 0 ，那么 q ( x )是以下友矩阵的特征多项式：

有理表达式的分解

域 F 是代数闭域，当且仅当每一个系数位于 F 内的一元有理函数都可以写成一个多项式函数与若干个形为 a /( x − b ) 的有理函数之和，其中 n 是自然数， a 和 b 是 F 的元素。

如果 F 是代数闭域，那么由于 F [ x ]内的不可约多项式都是一次的，根据部分分式分解的定理，以上的性质成立。

而另一方面，假设以上的性质对于域 F 成立。设 p ( x )为 F [ x ]内的一个不可约元素。那么有理函数1/ p 可以写成多项式函数 q 与若干个形为 a /( x − b ) 的有理函数之和。因此，有理表达式

可以写成两个多项式的商，其中分母是一次多项式的乘积。由于 p ( x )是不可约的，它一定能整除这个乘积，因此它也一定是一个一次多项式。

代数闭包

设 E ⊃ ⊃ --> F {\displaystyle E\supset F} 为代数扩张，且 E {\displaystyle E} 是代数闭域，则称 E {\displaystyle E} 是 F {\displaystyle F} 的一个 代数闭包 。可以视之为包含 F {\displaystyle F} 的最小的代数闭域。

若我们承认佐恩引理（或其任一等价陈述），则任何域都有代数闭包。设 E , E ′ {\displaystyle E,E"} 为任两个 F {\displaystyle F} 的代数闭包，则存在环同构 σ σ --> : E → → --> ∼ ∼ --> E ′ {\displaystyle \sigma :E{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}E"} 使得 σ σ --> | F = i d F {\displaystyle \sigma |_{F}=\mathrm {id} _{F}} ；代数闭包在此意义上是唯一的，通常记作 F a l g {\displaystyle F^{\mathrm {alg} }} 或 F ¯ ¯ --> {\displaystyle {\bar {F}}} 。

文献

S. Lang, Algebra , Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X

Bartel Leendert van der Waerden 和 B. L. van der Waerden, Algebra I , Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5

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