导集公理

导集是拓扑学的基础概念之一。可以用来定义拓扑空间。 给定集合X，运算d:P(X) → P(X)称为导集运算，当且仅当d满足以下导集公理：

D1：d(∅) = ∅。

D2：∀A⊆X，d(A) = d(d(A))

D3：∀A⊆X以及x∈X，d(A) = d(A - {x})

D4：∀A，B⊆X，d(A∩B) = d(A)∩d(B)

从导集出发可以定义各种拓扑的基础概念：

闭集：X的子集A是闭集，当且仅当d(A)⊆A。（从此处可以看到和闭集公理的等价性，从而可以等价地定义拓扑空间。）

同胚：拓扑空间T1(X1,τ1)，T2(X2,τ2)同胚，当且仅当存在双射f：，使得∀A⊆X1，f(d(A)) = d(f(A))。

相关概念

性质

S，T⊆X，若S∩T=∅，S∩d(T)=∅，d(S)∩T=∅。则称S和T是分离的。（注意：d(S)∩d(T)不一定为∅）。

集合 S 被定义为完美的，如果 S = S′。等价地说，完美集合是没有孤点的闭集。完美集合又称为完备集合。

Cantor-Bendixson定理声称任何波兰空间都可以写为可数集合和完美集合的的并集。因为任何波兰空间的 Gδ 子集都再次是波兰空间，这个定理还证明了任何波兰空间的 Gδ 子集都是可数集合和完美集合的并集。

拓扑空间T是T1 空间，当且仅当∀x∈X，d({x}) = ∅。

引用

Kechris, A. Classical Descriptive Set Theory Graduate Texts in Mathematics 156. Springer. 1995. ISBN 0-387-94374-9 ISBN 3-540-94374-9. 

Sierpiński, Wacław F.; translated by Krieger, C. Cecilia (1952). General Topology. University of Toronto Press.

参见

极限点

导出代数

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