定义

一个赋环空间是一组资料(X,OX){\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}，其中X{\displaystyle X}为一拓扑空间而OX{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}是其上的交换环层。

若OX{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}在每一点的茎都是局部环，则称之局部赋环空间。

全体赋环空间构成一个范畴，(X,OX){\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}到(Y,OY){\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}的态射是一组(f,f♯ ♯ -->){\displaystyle (f,f^{\sharp })}，其中f:X→ → -->Y{\displaystyle f:X\rightarrow Y}是连续映射，f♯ ♯ -->:OY→ → -->f∗ ∗ -->OX{\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}是环层的态射（ f∗ ∗ -->OX{\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}定义为V↦ ↦ -->OX(f− − -->1(V)){\displaystyle V\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))}）。

局部赋环空间亦成一范畴，其态射除上述要求外，还须满足：对每一点x∈ ∈ -->X{\displaystyle x\in X}，f♯ ♯ -->{\displaystyle f^{\sharp }}在茎上诱导的自然态射fx♯ ♯ -->:OY,f(x)→ → -->OX,x{\displaystyle f_{x}^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}}必须是局部的（若(A,m),(B,n){\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}),(B,{\mathfrak {n}})}是局部环，环同态ϕ ϕ -->:A→ → -->B{\displaystyle \phi :A\rightarrow B}满足ϕ ϕ -->− − -->1(m)=n{\displaystyle \phi ^{-1}({\mathfrak {m}})={\mathfrak {n}}}，则称φ为局部的）。

例子

设X{\displaystyle X}为任一拓扑空间，OX:U↦ ↦ -->C(U){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}:U\mapsto C(U)}（C(U){\displaystyle C(U)}表 U连续函数续函数），则(X,OX){\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 成一局部赋环空间：OX,x{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}的唯一极大理想由在x{\displaystyle x}消没的函数构成。拓扑空间之间的连续映射诱导出局部赋环空间的态射，反之亦然。

上述例子中的X{\displaystyle X}可代以微分流形或复流形，并将OX(U){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}代以U{\displaystyle U}上的光滑函数或全纯函数。

交换环谱(A,OA){\displaystyle (\mathrm {A} ,{\mathcal {O}}_{A})}。给定环同态ϕ ϕ -->:A→ → -->B{\displaystyle \phi :A\rightarrow B}，φ诱导出局部赋环空间的态射(f,f♯ ♯ -->){\displaystyle (f,f^{\sharp })}；反之任一态射皆由环同态给出。

为了刻划这些态射，局部的条件在此不可或缺，它可被视为X{\displaystyle X}与OX{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}之间的联系；例如，若不要求局部性，则交换环谱的态射不一定由环同态给出——尽管从古典角度看这是必然的。

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