数学方法

哈密顿算符在量子力学中的意义

哈密顿算符 H {\displaystyle H} 是量子力学中的时间演化算符 U ( t b , t a ) {\displaystyle U(t_{b},t_{a})} 的生成算符：

一个量子粒子在时刻 t a {\displaystyle t_{a}} 到 t b {\displaystyle t_{b}} 间从位置 x a {\displaystyle x_{a}} 运动到 x b {\displaystyle x_{b}} 的量子概率幅是：

因为 U ( t b , t a ) {\displaystyle U(t_{b},t_{a})} 是很复杂的算符函数，直接用以上定义计算 i G ( x b , t b ; x a , t a ) {\displaystyle iG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})} 非常困难。 时间演化算符符合

因此量子幅符合

此公式的物理理解为：从 ( t a , x a ) {\displaystyle (t_{a},x_{a})} 出发，在时刻 t b > t > t a {\displaystyle t_{b}>t>t_{a}} 先穿过位置 x {\displaystyle x} 再到达 ( t b , x b ) {\displaystyle (t_{b},x_{b})} 路径的总量子幅是两段路径量子幅的积；而从 ( t a , x a ) {\displaystyle (t_{a},x_{a})} 到 ( t b , x b ) {\displaystyle (t_{b},x_{b})} 的量子幅是所有这种路径的和。

时间切片

假设粒子在时刻 t a {\displaystyle t_{a}} 到 t b {\displaystyle t_{b}} 间从位置 x a {\displaystyle x_{a}} 运动到 x b {\displaystyle x_{b}} 。那可以把之间的时间平均分割成个别的时间区间： t a = t 0 < t 1 < t 2 1 = t b − − --> t a n {\displaystyle \Delta ={\frac {t_{b}-t_{a}}{n}}} 。 在时刻 t j − − --> 1 {\displaystyle t_{j-1}} 和 t j {\displaystyle t_{j}} 间粒子的量子幅是：

因为 p ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {p}}} 和 x ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {x}}} 是互不交换的算符，所以必须运用它们的交换子关系： [ p ^ ^ --> , x ^ ^ --> ] = i ℏ ℏ --> {\displaystyle [{\hat {p}},{\hat {x}}]=i\hbar } 把 H ( p ^ ^ --> , x ^ ^ --> ) {\displaystyle H({\hat {p}},{\hat {x}})} 修成所有的 p ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {p}}} 在 x ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {x}}} 左方的正常顺序：

做时间切片的作用是：当取切片数趋向无限大的极限时（ Δ Δ --> → → --> 0 {\displaystyle \Delta \rightarrow 0} ），原本非正常顺序的哈密顿算符可以以正常顺序版代替。在正常顺序算符下， p ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {p}}} 和 x ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {x}}} 从算符简化成普通复数。 因此

把所有连接 ( t a , x a ) {\displaystyle (t_{a},x_{a})} 和 ( t b , x b ) {\displaystyle (t_{b},x_{b})} 的路径相加得到的总量子幅是：

S {\displaystyle S} 是路径 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 的作用量，拉格朗日量 L ( t , x , x ˙ ˙ --> ) {\displaystyle L(t,x,{\dot {x}})} 的时间积分：

简单例子

自由粒子

自由粒子的作用量（ m = 1 {\displaystyle m=1} ， ℏ ℏ --> = 1 {\displaystyle \hbar =1} ）：

可以插入路径积分里做直接计算。 暂时把指数函数内i去掉可容许比较简易的理解计算。以后可以用威克转动回到原式：

D x {\displaystyle {\mathcal {D}}x} 是以上时间切成有限片的积分。连乘里每一项都是平均值为 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 方差为c的高斯函数。多重积分是相邻时间高斯函数 G ϵ ϵ --> {\displaystyle G_{\epsilon }} 的卷积：

这里面共包含 T / ϵ ϵ --> {\displaystyle T/\epsilon } 个卷积。傅里叶变换下卷积变成普通乘积：

高斯函数的傅里叶变换也是一个高斯函数：

因此

反傅里叶变换可以得到实空间量子幅：

时间切片方法原则上不能决定以上比例系数。以随机运动概率来理解可得到以下正规条件：

从这条件可得到扩散方程：

回到振荡轨道，即恢复分子里的原本的 i {\displaystyle i} 。这可同样得到一系列高斯函数的卷积。但这些高斯积分是严重振荡积分而要小心计算。一个普遍方法是让时间片 ϵ ϵ --> {\displaystyle \epsilon } 带一个小虚部。这等同于以威克转动在实时间和虚时间间转换。在这些处理下可得到传播核：

运用和之前一样的正规条件，重新得到自由粒子的薛定谔方程：

这意味者任何 G {\displaystyle G} 的线性组合也符合薛定谔方程，包括以下定义的波函数：

和 G {\displaystyle G} 一样服从薛定谔方程：

参看

费曼－卡茨公式

参考资料

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