定义

在右手坐标系中的向量积

两个向量 a{\displaystyle \mathbf {a} } 和 b{\displaystyle \mathbf {b} } 的叉积写作 a× × -->b{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }（有时也被写成a∧ ∧ -->b{\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }，避免和字母 x 混淆）。叉积可以定义为：

在这里 θ θ -->{\displaystyle \theta } 表示 a{\displaystyle \mathbf {a} } 和 b{\displaystyle \mathbf {b} } 之间的角度（0∘ ∘ -->≤ ≤ -->θ θ -->≤ ≤ -->180∘ ∘ -->{\displaystyle 0^{\circ }\leq \theta \leq 180^{\circ }}），它位于这两个向量所定义的平面上。而 n^ ^ -->{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 是一个与 a{\displaystyle \mathbf {a} }、b{\displaystyle垂直m单位向量f {b} } 所构成的平面垂直的单位向量。

这个定义有个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于 a{\displaystyle \mathbf {a} } 和 b{\displaystyle \mathbf {b} }：若 n^ ^ -->{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 满足垂直的条件，那么− − -->n^ ^ -->{\displaystyle -{\hat {\mathbf {n} }}}也满足。

“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系的左右手定则。若（i{\displaystyle \mathbf {i} }、j{\displaystyle \mathbf {j} }、k{\displaystyle \mathbf {k} }）满足右手定则，则（a{\displaystyle \mathbf {a} }、b{\displaystyle \mathbf {b} }、a× × -->b{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }）也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系满足右手定则，当右手的四指从 a{\displaystyle \mathbf {a} } 以不超过180°的转角转向 b{\displaystyle \mathbf {b} } 时，竖起的大拇指指向是 a× × -->b{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } 的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为“伪向量”。

性质

代数性质

对于任意三个向量 a{\displaystyle \mathbf {a} }、b{\displaystyle \mathbf {b} }、c{\displaystyle \mathbf {c} }，

a× × -->a=0{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} }

a× × -->0=0{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {0} =\mathbf {0} }

a× × -->b=− − -->(b× × -->a){\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )}（反交换律）

a× × -->(b+c)=a× × -->b+a× × -->c{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {分配律}（加法的左分配律）

(a+b)× × -->c=a× × -->c+b× × -->c{\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c} }（加法的右分配律）

(λ λ -->a)× × -->b=λ λ -->(a× × -->b)=a× × -->(λ λ -->b){\displaystyle (\lambda \mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \times (\lambda \mathbf {b} )}

a× × -->b+c× × -->d=(a− − -->c)× × -->(b− − -->d)+a× × -->d+c× × -->b{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} }

|a× × -->b|=|b× × -->a|{\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {b} \times \mathbf {a} |}

|a× × -->b|2=|a|2|b|2− − -->(a⋅ ⋅ -->b)2=|a⋅ ⋅ -->aa⋅ ⋅ -->ba⋅ ⋅ -->bb⋅ ⋅ -->b|{\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {拉格朗日\\end{vmatrix}}}（拉格朗日恒等式）

一般来说，向量叉积不遵守约简律，即 a× × -->b=a× × -->c{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} } 不表示 b=c{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {c} }。此外，a× × -->b=0{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0} } 不表示 a=0{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} } 或 b=0{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }。

但对于两个非零向量 a{\displaystyle \mathbf {a} } 和 b{\displaystyle \mathbf {b} }，

a× × -->b=0{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0} } 当且仅当 a{\displaystyle \mathbf {a} } 平行于 b{\displaystyle \mathbf {b} }

三重积

标量三重积满足以下特殊的结合律：

a⋅ ⋅ -->(b× × -->c)=(a× × -->b)⋅ ⋅ -->c{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }

向量三重积不满足结合律，但满足以下恒等式：

a× × -->(b× × -->c)+b× × -->(c× × -->a)+c× × -->(a× × -->b)=0{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\;+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\;+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b}雅可比\mathbf {0} } （雅可比恒等式）

向量三重积亦可以点积展开：

a× × -->(b× × -->c)=b(a⋅ ⋅ -->c)− − -->c(a⋅ ⋅ -->b){\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}（拉格朗日公式）

向量微分

对于实数 t{\displaystyle t} 和两个向量值函数 a(t){\displaystyle \mathbf {a} (t)}、b(t){\displaystyle \mathbf {b} (t)}，乘积法则成立：

ddt(a× × -->b)=dadt× × -->b+a× × -->dbdt{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}}}

三维坐标

给定直角坐标系的单位向量i{\displaystyle \mathbf {i} }，j{\displaystyle \mathbf {j} }，k{\displaystyle \mathbf {k} }满足下列等式：

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

则

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 i{\displaystyle \mathbf {i} }、j{\displaystyle \mathbf {j} }、k{\displaystyle \mathbf {k} } 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量[a1, a2, a3]表示成四元数a1i + a2j + a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

几何意义

以向量定义的平行四边形。

由向量 a{\displaystyle \mathbf {a} } 和 b{\displaystyle \mathbf {b} } 定义两条邻边的平行四边形，其面积 A{\displaystyle A} 为

因此两支向量叉积的模长可视作平行四边形其面积：

A=|a× × -->b|{\displaystyle A=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}

高维情形

七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质：

双线性性：

反交换律：

x× × -->y{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} } 同时与 x{\displaystyle \mathbf {x} } 和 y{\displaystyle \mathbf {y} } 垂直：

拉格朗日恒等式

不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：

应用

另外，在物理学力学、电磁学、光学和计算机图形学等理工学科中，叉积应用十分广泛。例如力矩、角动量、洛伦兹力等矢量都可以由向量的叉积求解。在进行这些物理量的计算时，往往可以借助右手定则辅助判断方向。

参见

标量积

三重积

右手定则

外代数：叉乘的实质，赝矢量与赝标量

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