简谐振子

简谐振子没有驱动力，也没有摩擦（阻尼），所以合力单纯为：

利用牛顿第二定律

则加速度a{\displaystyle a}等于是x{\displaystyle x}的二次微分导数：

若定义ω ω -->02=k/m{\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=k/m}，则方程可以写为如下：

可以观察到：

然后代回原式得到

积分可得

其中K是积分常数，设K = (Aω0)

经过积分，结果（包括积分常数φ）为

并有一般解

其中振幅A{\displaystyle A\,}以及相位ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi \,}可透过初始条件来决定。

另外也可以将一般解写成

其中ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi \,}的值与前面形式相比，偏移了π π -->/2{\displaystyle \pi /2\,}；

又可以写作

其中A{\displaystyle A\,}与B{\displaystyle B\,}为透过初始条件决定的常数，以替代前面形式的A{\displaystyle A\,}与ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi \,}。

振动频率则为

动能为

以及势能（势能）为

所以系统总能为定值：

受驱谐振子

一受驱谐振子满足如下非齐次（nonhomogeneous）二阶线性微分方程

其中A0{\displaystyle A_{0}}是驱动振幅而ω ω -->{\displaystyle \omega }是驱动频率，针对的是一弦波式的驱动机制。这样的系统出现在交流LC（电感L-电容C）电路以及理想化的弹簧系统（没有内部力学阻力或外部的空气阻力）。

阻尼谐振子

一阻尼谐振子满足如下二阶微分方程

其中b{\displaystyle b}是由实验决定的阻尼常数，满足关系式F=− − -->bv{\displaystyle F=-bv}。遵守此方程的系统，其中一例为置于水中的加权弹簧（weighted spring），若假设水所施的阻尼力与速度v{\displaystyle v}呈线性比例关系。

阻尼谐振子的频率为

其中

受驱阻尼振子

受驱阻尼振子满足方程

其一般解为两个解的和，一为暂态解（无驱动阻尼谐振子之齐次常微分方程的解），与初始条件相关；另一为稳态解（非齐次常微分方程之特殊解），与初始条件无关，只与驱动频率、驱动力、阻尼力有关。

稳态解为

其中

为阻抗（impedance）或线性响应函数（linear response function）之绝对值

而

为相对于驱动力（相位定为0）的振动相位。

可以观察到，当在某特定驱动频率ω ω -->{\displaystyle \omega }时，振子振动之振幅（相对于一给定之F0{\displaystyle F_{0}}）达到最大。这发生在频率为

之时，而此现象称之为（位移上的）共振。

总结来说，在稳态时，振动频率等同于驱动力的频率，但振动与驱动力在相位上有偏移；且振幅大小与驱动频率相关，当驱动频率与振动系统偏好（共振）频率相同时，振幅达到最大。

例子：RLC电路；电阻类比于阻尼。

完整数学描述

多数谐振子，至少近似上地说，是在解以下的微分方程：

其中t是时间，b是阻尼常数，ωo是本征角频率，而Aocos(ωt)代表驱动系统的某种事物，其振幅Ao而角频率ω。x是进行振荡的被测量量；可以是位置、电流或其他任何可能的物理量。角频率与频率f有关，关系式为

重要项

振幅：偏离平衡点的最大的位移量。

周期：系统完成一个振荡循环所需的时间，为频率的倒数。

频率：单位时间内系统执行的循环总数量（通常以赫兹= 1/秒为量度）。

角频率：ω ω -->=2π π -->f{\displaystyle \omega =2\pi f}

相位：系统完成了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完成了循环的一半时，系统的相位为π π -->{\displaystyle \pi }）。

初始条件：t = 0时系统的状态。

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。