经典四阶龙格库塔法

在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。

令初值问题表述如下。

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：

其中

这样，下一个值（yn+1）由现在的值（yn）加上时间间隔（h）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加均：

k1是时间段开始时的斜率；

k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值；

k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；

k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。

当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h阶，而总积累误差为h阶。

注意上述公式对于标量或者向量函数（y可以是向量）都适用。

显式龙格库塔法

显式龙格－库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出

其中

（注意：上述方程在不同著述中有不同但却等价的定义）。

要给定一个特定的方法，必须提供整数s（级数），以及系数 aij（对于1 ≤ j < i ≤ s）, bi（对于i = 1, 2, ..., s）和ci（对于i = 2, 3, ..., s）。这些数据通常排列在一个助记工具中，称为Butcher tableau（得名自John C. Butcher）：

龙格库塔法是自洽的，如果

如果要求方法的精度为p阶，即截断误差为O(h)的，则还有相应的条件。这些可以从截断误差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。

例子

RK4法处于这个框架之内。其表为：

然而，最简单的龙格-库塔法是（更早发现的）欧拉方法，其公式为yn+1=yn+hf(tn,yn){\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})}。这是唯一自洽的一级显式龙格库塔方法。相应的表为：

隐式龙格库塔方法

以上提及的显式龙格库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格库塔方法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格库塔方法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格库塔方法，一般而言，隐式龙格库塔方法具有以下形式：

其中

在显式龙格库塔方法的框架里，定义参数aij{\displaystyle a_{ij}}的矩阵是一个下三角矩阵，而隐式龙格库塔方法并没有这个性质，这是两个方法最直观的区别：

需要注意的是，与显式龙格库塔方法不同，隐式龙格库塔方法在每一步的计算里需要求解一个线性方程组，这相应的增加了计算的成本。

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