符号

符号"⊆"表示任何子集；符号"⊊"表示真子集。

"⊂"也是一个很常见的符号，但有人仅用它表示真子集 ，其他人用它表示所有子集 ，易混淆。

举例

集合{1, 2}是集合{1, 2, 3}的真子集。

自然数集合是有理数集合的真子集。

集合{ x : x 是大于2000的素数}是集合{ x : x 是大于1000的奇数}的真子集。

任意集合是其自身的子集，但不是真子集。

空集，写作 ∅ ∅ --> {\displaystyle \varnothing } ，是任意集合 X 的子集。空集总是其他集合真子集，除了其自身。

性质

命题1 ：空集是任意集合的子集。

这个命题说明： 包含 是一种偏序关系。

命题2 ：若 A ， B ， C 是集合，则：

这个命题说明：对任意集合 S ， S 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题3 ：若 A ， B ， C 是集合 S 的子集，则：

命题4 :对任意两个集合 A 和 B ，下列表述等价：

这个命题说明：表述" A ⊆ B "，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

参考文献

^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York:McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 924157

^离散数学-第三章, [ 2012-09-07 ]

^Subsets and Proper Subsets (PDF) , [ 2012-09-07 ]

^剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF) , [ 2015-03-14 ]

参见

幂集：某集合的全部子集组成的集合。

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