概论

数学模型

对于某些类型的随机过程，很容易通过状态定义列方程推导出是否具有马尔可夫性质，但对于另外一些，需要使用马尔可夫性质中描述的一些更加复杂的数学技巧。举一个简单的例子，设某个随机过程他的状态 X 可取到一个离散集合中的值，该值随时间 t 变化，可将该值表示为 X ( t )。在这里，时间变量是离散或连续不影响讨论的结果。考虑任意一个“过去的时间”集合(..., p 2 , p 1 ), 任何“当前时间” s , 以及任何“未来时间” t , 同时所有这些时间全都在 X 的取值范围之内，若有

则马尔可夫性质成立, 并且该过程为马尔可夫过程, 如果式

对于所有的取值( ... , x ( p 2 ), x ( p 1 ), x ( s ), x ( t ) ), 以及所有的时间集合成立。 则可用条件概率计算得出

与任何过去的取值( ... , x ( p 2 ), x ( p 1 ) )不相关，这恰好就是所谓的未来的状态与任何历史的状态无关，仅与当前状态相关。

二阶马尔可夫过程

在某些情况下，如果将“现在”和“未来”的概念扩展，某些明显的非马尔可夫过程仍然可能具有某些马尔可夫过程的性质。举例来说，令 X 是一个非马尔可夫过程，现在构造一个过程 Y ，使其每个状态对应于 X 的一个时段的状态。从而有如下形式：

如果 Y 具有马尔可夫性质，则称 X 为二阶马尔可夫过程，据此也可定义更高阶马尔可夫过程。一个高阶马尔可夫过程的例子是移动平均的时间序列

马尔可夫性质

马尔可夫性质 是概率论中的一个概念。当一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态；换句话说，在给定现在状态时，它与过去状态（即该过程的历史路径）是条件独立的，那么此随机过程即具有 马尔可夫性质 。具有马尔可夫性质的过程通常称之为 马尔可夫过程 。

数学上，如果 X ( t ) , t > 0 {\displaystyle X(t),t>0} 为一个随机过程，则 马尔可夫性质 就是指

马尔可夫过程通常称其为 （时间）齐次 ，如果满足

除此之外则被称为是 （时间）非齐次 的。齐次马尔可夫过程通常比非齐次的简单，构成了最重要的一类马尔可夫过程。

某些情况下，明显的非马尔可夫过程也可以通过扩展“现在”和“未来”状态的概念来构造一个马尔可夫表示。设 X {\displaystyle X} 为一个非马尔可夫过程。我们就可以定义一个新的过程 Y {\displaystyle Y} ，使得每一个 Y {\displaystyle Y} 的状态表示 X {\displaystyle X} 的一个时间区间上的状态，用数学方法来表示，即，

如果 Y {\displaystyle Y} 具有马尔可夫性质，则它就是 X {\displaystyle X} 的一个马尔可夫表示。 在这个情况下， X {\displaystyle X} 也可以被称为是 二阶马尔可夫过程 。 更高阶马尔可夫过程 也可类似地来定义。

具有马尔可夫表示的非马尔可夫过程的例子，例如有移动平均时间序列。

最有名的马尔可夫过程为马尔可夫链，但不少其他的过程，包括布朗运动也是马尔可夫过程。

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马尔可夫链

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