严谨集合论的源起

集合论的公理

集合论中其中一套由Skolem最后整理的公理系统，称为Zermelo-Fraenkel集合论（ZF）。实际上，这个名称通常不包括历史上远比今天具争议性的选择公理，当包括了选择公理，这套系统被称为ZFC。

外延公理：（Axiom of extensionality）两个集合相同，当且仅当它们拥有相同的元素。

分类公理：（Axiom schema of specification / axiom schema of separation / axiom schema of restricted comprehension）或称子集公理，给出任何集合及命题P(x)，存在着一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。

配对公理：（Axiom of pairing）假如x, y为集合，那就有另一个集合{x,y}包含x与y作为它的仅有元素。

并集公理：（Axiom of union）每一个集合也有一个并集。也就是说，对于每一个集合x，也总存在着另一个集合y，而y的元素也就是而且只会是x的元素的元素。

空集公理：存在着一个不包含任何元素的集合，我们记这个空集合为{ }。可由分类公理得出。

无穷公理：（Axiom of infinity）存在着一个集合x，空集{ }为其元素之一，且对于任何x中的元素y，y ∪ {y}也是x的元素。

替代公理：（Axiom schema of replacement）

幂集公理：（Axiom of power set）每一个集合也有其幂集。那就是，对于任何的x，存在着一个集合y，使y的元素是而且只会是x的子集。

正规公理：（Axiom of regularity / Axiom of foundation）每一个非空集合x，总包含着一元素y，使x与y为不交集。

选择公理：（Axiom of choice，Zermelo"s version）给出一个集合x，其元素皆为互不相交的非空集，那总存在着一个集合y（x的一个选择集合），包含x每一个元素的仅仅一个元素。

命题在ZFC中的独立性

引用

Keith Devlin, 1992. The Joy of Sets, 2nd ed. Springer-Verlag.

Potter, Michael, 2004. Set Theory and Its Philosophy. Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-927041-4.

Suppes, Patrick, 1972. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4.

Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.

参见

可替代的集合论

ℶ 数

康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理

对角论证法

康托尔定理

Implementation of mathematics in set theory

Internal set theory

Kripke-Platek set theory with urelements

List of set theory topics

模型论

Morse-Kelley set theory

朴素集合论

新基础集合论

Simple theorems in the algebra of sets

冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论

Zermelo-Fraenkel 集合论

佐恩引理

公理化数学

For information on the history of set theory notation, see:

The history of set theory and logic notation.

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