作图方法

作图

1796年高斯证明了可以用尺规作图作出正十七边形，同时发现了可作图多边形的条件。正十七边形其中一个作图方法如下：

英文里，詹·何顿·康威认为heptadecagon是错误的拼法，应为heptakaidecagon。

可作图性亦同时显示2π/17的三角函数可以只用基本算术和平方根来表示。高斯的书 Disquisitiones 包含了这条等式：

证明

设正十七边形中心角为 α α --> {\displaystyle \alpha } ,则 17 α α --> = 360 ∘ ∘ --> {\displaystyle 17\alpha =360^{\circ }} 度,

即 16 α α --> = 360 ∘ ∘ --> − − --> α α --> {\displaystyle 16\alpha =360^{\circ }-\alpha }

故 sin ⁡ ⁡ --> 16 α α --> = − − --> sin ⁡ ⁡ --> α α --> {\displaystyle \sin 16\alpha =-\sin \alpha } ，而

sin ⁡ ⁡ --> 16 α α --> = 2 sin ⁡ ⁡ --> 8 α α --> cos ⁡ ⁡ --> 8 α α --> = 2 2 sin ⁡ ⁡ --> 4 α α --> cos ⁡ ⁡ --> 4 α α --> cos ⁡ ⁡ --> 8 α α --> = 2 4 sin ⁡ ⁡ --> α α --> cos ⁡ ⁡ --> α α --> cos ⁡ ⁡ --> 2 α α --> cos ⁡ ⁡ --> 4 α α --> cos ⁡ ⁡ --> 8 α α --> {\displaystyle {\begin{aligned}\sin 16\alpha &=2\sin 8\alpha \cos 8\alpha \\&=2^{2}\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\&=2^{4}\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\\end{aligned}}}

因为 sin ⁡ ⁡ --> α α --> ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle \sin \alpha \neq 0} ，两边除之有

16 cos ⁡ ⁡ --> α α --> cos ⁡ ⁡ --> 2 α α --> cos ⁡ ⁡ --> 4 α α --> cos ⁡ ⁡ --> 8 α α --> = − − --> 1 {\displaystyle 16\cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha =-1}

又由 2 cos ⁡ ⁡ --> α α --> cos ⁡ ⁡ --> 2 α α --> = cos ⁡ ⁡ --> α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 3 α α --> {\displaystyle 2\cos \alpha \cos 2\alpha =\cos \alpha +\cos 3\alpha } 等，有

2 ( cos ⁡ ⁡ --> α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 2 α α --> + ⋯ ⋯ --> + cos ⁡ ⁡ --> 8 α α --> ) = − − --> 1 {\displaystyle 2(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cdots +\cos 8\alpha )=-1}

注意到 cos ⁡ ⁡ --> 15 α α --> = cos ⁡ ⁡ --> 2 α α --> {\displaystyle \cos 15\alpha =\cos 2\alpha } ， cos ⁡ ⁡ --> 12 α α --> = cos ⁡ ⁡ --> 5 α α --> {\displaystyle \cos 12\alpha =\cos 5\alpha } ，令

x = cos ⁡ ⁡ --> α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 2 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 4 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 8 α α --> {\displaystyle x=\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }

y = cos ⁡ ⁡ --> 3 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 5 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 6 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 7 α α --> {\displaystyle y=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha }

有：

x + y = − − --> 1 2 {\displaystyle x+y=-{\frac {1}{2}}}

又

x y = ( cos ⁡ ⁡ --> α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 2 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 4 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 8 α α --> ) ( cos ⁡ ⁡ --> 3 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 5 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 6 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 7 α α --> ) = 1 2 ( cos ⁡ ⁡ --> 2 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 4 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 4 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 6 α α --> + ⋯ ⋯ --> + cos ⁡ ⁡ --> α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 15 α α --> ) = − − --> 1 {\displaystyle {\begin{aligned}xy&=(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha )\\&={\frac {1}{2}}(\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 4\alpha +\cos 6\alpha +\cdots +\cos \alpha +\cos 15\alpha )\\&=-1\\\end{aligned}}}

所以，得

x = − − --> 1 + 17 4 {\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}}

y = − − --> 1 − − --> 17 4 {\displaystyle y={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}}

再设:

x 1 = cos ⁡ ⁡ --> α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 4 α α --> {\displaystyle x_{1}=\cos \alpha +\cos 4\alpha } ， x 2 = cos ⁡ ⁡ --> 2 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 8 α α --> {\displaystyle x_{2}=\cos 2\alpha +\cos 8\alpha } ，

y 1 = cos ⁡ ⁡ --> 3 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 5 α α --> {\displaystyle y_{1}=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha } ， y 2 = cos ⁡ ⁡ --> 6 α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 7 α α --> {\displaystyle y_{2}=\cos 6\alpha +\cos 7\alpha }

故有

x 1 + x 2 = − − --> 1 + 17 4 {\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}}

y 1 + y 2 = − − --> 1 − − --> 17 4 {\displaystyle y_{1}+y_{2}={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}}

最后，由

cos ⁡ ⁡ --> α α --> + cos ⁡ ⁡ --> 4 α α --> = x 1 {\displaystyle \cos \alpha +\cos 4\alpha =x_{1}}

cos ⁡ ⁡ --> α α --> cos ⁡ ⁡ --> 4 α α --> = y 1 2 {\displaystyle \cos \alpha \cos 4\alpha ={\frac {y_{1}}{2}}}

可得 cos ⁡ ⁡ --> α α --> {\displaystyle \cos \alpha } 之表达式

cos ⁡ ⁡ --> α α --> = − − --> 1 + 17 + 34 − − --> 2 17 + 2 17 + 3 17 − − --> 34 − − --> 2 17 − − --> 2 34 + 2 17 16 {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}}

它是数的加减乘除平方根的组合，故正十七边形可用尺规作出。

Q.E.D

外部链接

以下的几个网页均有介绍如何正十七边形的尺规作图：

（韩文）

（英文）

（英文）

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