同调群的构造

其过程如下：给定对象X{\displaystyle X}，首先定义链复形，它包含了X{\displaystyle X}的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模A0,A1,A2,… … -->{\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots }的序列，群同态dn:An→ → -->An− − -->1{\displaystyle d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1}}满足任何两个相连的同态的复合为0: dn∘ ∘ -->dn+1=0{\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}对于所有n成立。这意味着第n+1个映射的像包含在第n个映射的核中，我们定义X的第n阶同调群为因子群（因子模）

链复形称为正合的，如果（n + 1）阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此X{\displaystyle X}的同调群是X{\displaystyle X}所关联的链复形和正合有“多远”的衡量。

例子

导致引入这个概念的例子是代数拓扑：单纯复形X{\displaystyle X}的单纯同调。An{\displaystyle A_{n}}在这里就是X{\displaystyle X}中的n维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为边界映射，它将单纯形

映射为如下的和

如果我们将模取在一个域上，则X{\displaystyle X}的n阶同调的维数就是X{\displaystyle X}中n维的洞的个数。

仿照这个例子，可以定义任何拓扑空间X{\displaystyle X}的奇异同调。我们定义X{\displaystyle X}的上同调的链复形中的空间为An{\displaystyle A_{n}}为自由可换群（或者自由模），其生成元为所有从n为单纯形到X{\displaystyle X}的连续函数。同态dn{\displaystyle d_{n}}从单纯形的边界映射得到。

抽象代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子F{\displaystyle F}和某个模X{\displaystyle X}开始。X{\displaystyle X}的链复形定义如下：首先找到一个自由模F1{\displaystyle F_{1}}和一个满同态p1:F1→ → -->X{\displaystyle p_{1}:F_{1}\rightarrow X}。然后找到一个自由模F2{\displaystyle F_{2}}和一个满同态p2:F2→ → -->ker(p1){\displaystyle p_{2}:F_{2}\rightarrow \mathrm {ker} (p_{1})}。以该方式继续，得到一个自由模Fn{\displaystyle F_{n}}和同态pn{\displaystyle p_{n}}的序列。将函子F{\displaystyle F}应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调Hn{\displaystyle H_{n}}仅依赖于F{\displaystyle F}和X{\displaystyle X}，并且按定义就是F{\displaystyle F}作用于X{\displaystyle X}的n阶导出函子。

同调函子

链复形构成一个范畴：从链复形(dn:An→ → -->An− − -->1){\displaystyle (d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})}到链复形(en:Bn→ → -->Bn− − -->1){\displaystyle (e_{n}:B_{n}\rightarrow B_{n-1})}的态射是一个同态的序列fn:An→ → -->Bn{\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}，满足fn− − -->1∘ ∘ -->dn=en− − -->1∘ ∘ -->fn{\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n-1}\circ f_{n}}对于所有n成立。n阶同调 Hn{\displaystyle H_{n}}可函子为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。

若链复形以协变的方式依赖于对象X{\displaystyle X}（也就是任何态射X→ → -->Y{\displaystyle X\rightarrow Y}诱导出一个从X{\displaystyle X}的链复形到Y{\displaystyle Y}的链复形的态射），则Hn{\displaystyle H_{n}}是从X{\displaystyle X}所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于X{\displaystyle X}，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为Hn{\displaystyle H^{n}}）构成从X{\displaystyle X}所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

性质

若(dn:An→ → -->An− − -->1){\displaystyle (d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})}是链复形，满足出有限个An{\displaystyle A_{n}}外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数

（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调的层次上也可以计算:

并且，特别是在代数拓扑中，这提供了两个计算产生链复形的对象X{\displaystyle X}的重要的不变量χ χ -->{\displaystyle \chi }.

每个链复形的短正合序列

导致一个同调群的长正合序列

所有这个长正合序列中的映射由链复形间的映射导出，除了映射Hn(C)→ → -->Hn− − -->1(A){\displaystyle H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)}之外。后者称为 连引理态，有蛇引理给出。

参看

奇异同调

上同调

同调论

同调代数

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