背景简介

尺规作图法

在叙述化圆为方问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是 ：

定义了直尺和圆规的特性后，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法 ：

通过两个已知点，作一直线。

已知圆心和半径，作一个圆。

若两已知直线相交，确定其交点。

若已知直线和一已知圆相交，确定其交点。

若两已知圆相交，确定其交点。

尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”，等等。

问题叙述

化圆为方问题的完整叙述是：

如果将圆的半径定为单位长度，则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度 π π --> {\displaystyle {\sqrt {\pi }}} 倍的线段。

不可能性的证明

圆周率的超越性

化圆为方问题是指已知单位长度1，要作出 π π --> {\displaystyle {\sqrt {\pi }}} 的长度。这等价于从1开始作出 π π --> {\displaystyle \pi } 。然而，能够用尺规作出的数 z 都有对应的最小多项式。也就是说，存在有理系数的多项式 m ，使得

然而，1882年，林德曼等人证明了对于圆周率 π π --> {\displaystyle \pi } 来说，这样的多项式不存在。数学家将这样的超越数超越数，而将有对应的多项式的数称为代数数。所有规矩数都是代数数，而 π π --> {\displaystyle \pi } 不是，这说明用尺规作图是无法化圆为方的。

林德曼证明 π π --> {\displaystyle \pi } 的超越性用到了现在称为林德曼－魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼－魏尔斯特拉斯定理说明，如果若干个代数数 z 1 , z 2 , ⋯ ⋯ --> , z n {\displaystyle z_{1},z_{2},\cdots ,z_{n}} 在有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上线性独立，那么 e z 1 , e z 2 , ⋯ ⋯ --> , e z n {\displaystyle e^{z_{1}},e^{z_{2}},\cdots ,e^{z_{n}}} 也在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上线性独立。反设 π π --> {\displaystyle \pi } 是代数数，那么 π π --> i {\displaystyle \pi i} 也是代数数。考虑代数数0和 π π --> i {\displaystyle \pi i} ，由于 π π --> i {\displaystyle \pi i} 是无理数，所以它们在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上线性独立。然而 e 0 {\displaystyle e^{0}} 和 e π π --> i {\displaystyle e^{\pi i}} 分别是1和-1，并非在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上线性独立，矛盾。这说明 π π --> {\displaystyle \pi } 不是代数数，而是超越数。

参考来源

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