定义

带有一个埃尔米特度量的流形是殆埃尔米特流形；凯勒流形是带有满足一个可积性条件的埃尔米特度量的流形，它有多种等价的表述。

凯勒流形可以多种方法刻画：它们通常定义了具有一个附加结构的复流形（或具有附加结构的辛流形，或具有附加结构的黎曼流形）。

可以将这三个结构之间的联系总结为 h=g+iω ω -->{\displaystyle h=g+i\omega }，这里 h 是埃尔米特形式，g 是黎曼度量，i 是殆复结构，而 ω ω -->{\displaystyle \omega } 是殆辛结构。

复流形 M 上一个凯勒度量是切丛TM{\displaystyle TM} 上一个埃尔米特度量，满足一个有多种等价刻画的条件（最几何的方式是由度量诱导的平行移动在切空间上给出复线性映射）。利用局部坐标它规定如下：如果

是埃尔米特度量，则伴随的凯勒形式定义为（在差一个因子 i/2 的意义下）

是闭的：即 dω = 0。如果 M 带有这样一个度量则称之为凯勒流形。

凯勒流形上的度量局部满足

对某个函数 K，称为凯勒势。

一个凯勒流形，伴随的凯勒形式和度量叫做凯勒-爱因斯坦（Kähler-Einstein，有时也叫爱因斯坦-凯勒）的当且仅当其里奇张量与度量张量成比例，R=λ λ -->g{\displaystyle R=\lambda g}，对某个常数 λ。这个名称是为了纪念爱因斯宇宙于宇宙常数的考虑。更多细节见爱因斯坦流形一文。

例子

复欧几里得空间C 带着标准埃尔米特度量是一个凯勒流形。

环面 C/Λ（Λ 为一完全格）由 C 上继承一个平坦度量，从而是一个紧致凯勒流形。

黎曼曲面上每个黎曼度量是凯勒的，因为 ω 闭的条件在（实）2 维是平凡的。

复射影空间 CP 有一个齐性凯勒度量，富比尼–施图迪度量。向量空间 C 上一个埃尔米特形式定义了 GL(n + 1,C) 中一个酉子群；一个富比尼–施图迪度量在差一个位似（整体缩放）的意义下由这样一个 U(n+1) 作用下的不变性决定；由初等线性代数，任何两个富比尼–施图迪度量在 CP 的一个投影自同态下是等距的，故无需言明通常就说富比尼–施图迪度量。

一个凯勒流形的复流形上的诱导度量是凯勒的。特别地，任何施坦流形（嵌入 C）或代数簇（嵌入 CP）是凯勒型的。这对它们的分析理论是基本的。

单位复球体 B 有一个凯勒度量叫做伯格曼度量，具有常全纯截面曲率。

每个K3曲面是凯勒的（得自丘成桐的一个定理）。

凯勒流形的一个重要子类是卡拉比–丘流形。

相关条目

殆复流形

超凯勒流形（Hyper-Kähler manifold）

凯勒–爱因斯坦度量（Kähler–Einstein metric）

Quaternion-Kähler manifold

复泊松流形

卡拉比–丘流形

参考文献

André Weil, Introduction à l"étude des variétés kählériennes (1958)

Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.

Andrei Moroianu, Lectures on Kähler Geometry (2007), London Mathematical Society Student Texts 69, Cambridge ISBN 978-0-521-68897-0.

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。