德林费尔德模

加性多项式环

设 L{\displaystyle L} 为特征 p>0{\displaystyle p>0} 的域。定义其上的非交换多项式环 L{τ τ -->}{\displaystyle L\{\tau \}}

乘法由下述条件确定

元素 τ τ -->{\displaystyle \tau } 可设想为弗罗贝尼乌斯映射。事实上，L{\displaystyle L} 是左 L{τ τ -->}{\displaystyle L\{\tau \}}-模，其中 L{\displaystyle L} 以乘法作用而 τ τ -->{\displaystyle \tau } 以 a↦ ↦ -->ap{\displaystyle a\mapsto a^{p}} 映射。环 L{τ τ -->}{\displaystyle L\{\tau \}} 也可以看作是如下多项式的集合

这类多项式满足 f(X+Y)=f(X)+f(Y)∈ ∈ -->L[X,Y]{\displaystyle f(X+Y)=f(X)+f(Y)\in L[X,Y]}，故称加性多项式；此环的乘法由多项式的合成给出，而非乘法，故非交换。

形式定义

今设 A{\displaystyle A} 为交换环，L 上的 德林费尔德 A-模定义为环同态 ψ ψ -->:A→ → -->L{τ τ -->}{\displaystyle \psi :A\to L\{\tau \}}，使得 ψ ψ -->(A){\displaystyle \psi (A)} 不包含于 L{\displaystyle L}；此条件意在排除一些平凡例子。环 A{\displaystyle A} 通常取作某条有限域上的仿射曲线的坐标环。

L{τ τ -->}{\displaystyle L\{\tau \}} 可视为加法群 (L,+){\displaystyle (L,+)} 的自同态，而德林费尔德 A-模可视为 A{\displaystyle A} 在 (L,+){\displaystyle (L,+)} 上的作用。

例子

置 A:=Fp[T]{\displaystyle A:=\mathbb {F} _{p}[T]}，对应到亏格为一的仿射代数曲线。德林费尔德模 ψ ψ -->:A→ → -->L{τ τ -->}{\displaystyle \psi :A\to L\{\tau \}} 仅依赖于像 ψ ψ -->(T)∈ ∈ -->L{τ τ -->}∖ ∖ -->L{\displaystyle \psi (T)\in L\{\tau \}\setminus L}。此时德林费尔德模可等同于 L{τ τ -->}∖ ∖ -->L{\displaystyle L\{\tau \}\setminus L}。对于亏格更高的曲线，德林费尔德模会更复杂。

承上，Carlitz 模是由 ψ ψ -->(T)=T+τ τ -->{\displaystyle \psi (T)=T+\tau }，L{\displaystyle L} 为含 Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 的完备代数封闭域给出的德林费尔德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展开研究，详见Goss 的著作第三章。

штука

设 X{\displaystyle X} 是有限域 Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 上的代数曲线。对概形或叠 U{\displaystyle U}，其上的秩 r （右）штука 由下列资料定义：

U× × -->X{\displaystyle U\times X} 上的秩 r自由部自由层E,E′{\displaystyle E,E"} 及单射

其余核的支撑集包括于某态射 U→ → -->X{\displaystyle U\to X} 的图（称为该 штука 的零点与极点，记为 0{\displaystyle 0} 与 ∞ ∞ -->{\displaystyle \infty }），且在支撑集上是秩 1{\displaystyle 1} 局部自由层。在此 Fr{\displaystyle \mathrm {Fr} } 表 U{\displaystyle U} 上的弗罗贝尼乌斯态射。

左 штука 的定义类似，但态射的方向反转；若极点与零点集互斥，则实际上无分左右。

粗略而言，考虑不同的 U{\displaystyle U}，可得代数叠 Shtr{\displaystyle \mathrm {Sht} ^{r}} 及 Shtr× × -->X{\displaystyle \mathrm {Sht} ^{r}\times X} 上的“万有 штука”，并有相对维度 $2$ 的平滑态射 (∞ ∞ -->,0):Shtr→ → -->X× × -->X{\displaystyle (\infty ,0):\mathrm {Sht} ^{r}\to X\times X}。注意到当 r>1{\displaystyle r>1} 时，叠 Shtr{\displaystyle \mathrm {Sht} ^{r}} 并非有限型的。

德林费尔德模可在某种意义下视作特别的 штука（自定义观之，这绝非明显），详见 Drinfel"d, V. G. Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

应用

简言之，函数域上的郎兰兹猜想是关于 GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)} 的尖点自守表示及某个伽罗瓦群的表示之间的对应。德林费尔德利用 штука 证明n=2{\displaystyle n=2}的情形。此猜想的难处在于构造满足特定性质的伽罗瓦表示，德林费尔德的高处在于从某个秩 2{\displaystyle 2} штука 的模空间的 ℓ ℓ -->{\displaystyle \ell }-进上同调入手，找出相应的伽罗瓦表示。

德林费尔德认为此法可延伸至 n≥ ≥ -->2{\displaystyle n\geq 2} 的情形。拉福格最后克服了其中的大量技术困难，完成证明。

文献

德林费尔德模

V. Drinfel"d, Elliptic modules (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR Sbornik 23 (1974) 561-592.

D. Goss, Basic structures of function field arithmetic, ISBN 3-540-63541-6

Drinfel"d modulein the Springer encyclopaedia of mathematics

G. Laumon, Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II, Cambridge university press 1996

штука

Drinfel"d, V. G. Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821

Drinfel"d, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.

D. Goss,What is a shtuka?Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)

拉福格在郎兰兹猜想方面的工作

Lafforgue, L.Chtoucas de Drinfeld et applications.(Drinfeld shtukas and applications) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 563--570

Lafforgue, LaurentChtoucas de Drinfeld, formule des traces d"Arthur-Selberg et correspondance de Langlands.(Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), 383--400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.

Gérard Laumon,The work of Laurent LafforgueProceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97

G. LaumonLa correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d"apres Laurent Lafforgue)(The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873

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