例子

(a000b000c),(100020000),(1007),(2){\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}

均为对角矩阵

矩阵运算

[a1a2⋱ ⋱ -->an]+[b1b2⋱ ⋱ -->bn]=[a1+b1a2+b2⋱ ⋱ -->an+bn]{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}&&&\\&a_{2}+b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}+b_{n}\end{bmatrix}}}

[a1a2⋱ ⋱ -->an][b1b2⋱ ⋱ -->bn]=[a1b1a2b2⋱ ⋱ -->anbn]{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&&&\\&a_{2}b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}}

[a1a2⋱ ⋱ -->an]− − -->1=[a1− − -->1a2− − -->1⋱ ⋱ -->an− − -->1]{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}a_{1}^{-1}&&&\\&a_{2}^{-1}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}^{-1}\end{bmatrix}}} 当且仅当 a1,a2,⋯ ⋯ -->,an{\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}} 均不为零。

性质

对角矩阵都是对称矩阵。

对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵。

单位矩阵In及零矩阵恒为对角矩阵。一维的矩阵也恒为对角矩阵。

一个对角线上元素皆相等的对角矩阵是数乘矩阵，可表示为单位矩阵及一个系数λ的乘积：λI。

一对角矩阵 diag(a1, ..., an) 的特征值为a1, ..., an。而其特征向量为单位向量e1, ..., en。

一对角矩阵 diag(a1, ..., an) 的行列式为a1...an的乘积。

方阵与对角矩阵相似的充分必要条件

n{\displaystyle n}阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：

n{\displaystyle n}阶方阵存在n{\displaystyle n}个线性无关的特征向量

如果n{\displaystyle n}阶方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数

参考

三角矩阵

对角优势矩阵

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