非正式描述一个n维的流形可理解为由多个同为n维的曲面（超曲面）。一般情况下，因为所有流形可以嵌入欧几里得空间，流形上的光滑函数就是欧几里得空间中的光滑函数。欧几里得空间的优势在于可以进行微分，透过微分流形（differentialmanifold）的代数关系，可以将欧几里得空间中的微积分搬上光滑流形。切空间也可以理解为在该点和流形相切的欧几里得空间的仿射子空间（affinespace）。所有切线空间可以“胶合在一起”，并形成基于原流形两倍维度的可微分流形（differentiablemanifold），称之流形的切丛（tangentbundle）。正式定义上述的非正式描述依赖于嵌入在较大向量空间R,使得切向量可以从流形延伸出到更大的空间。切空间更好的定义不依赖于这种嵌入，例如，切向量可以定义为通过该点的曲线的等价类，或者是对光滑函数在该点的在某个方向上的求导。但所有这些定义都是等价的。虽然...

外部链接OfficialwebsiteMuseumofCieszynSilesia(MuzeumŚląskaCieszyńskiego)JewishCommunityinCieszynonVirtualShtetl坐标：49°44′54.37″N18°37′59.56″E/49.7484361°N18.6332111°E/49.7484361;18.6332111

切韵其书源起和成书隋文帝开皇（公元581—600年）年间，由陆法言集当时八名文人（刘臻、颜之推、卢思道、李若、萧该、辛德源、薛道衡、魏彦渊）于家聚会时讨论商定，并于仁寿元年（公元601年）成《切韵》。全书以韵目为纲，共分195韵；韵又按声（参见四声）归入平、上、去、入四部分。同韵的字又以声类、等呼排序。于是同音字全被归在一起。每一音前标以圆圈（称为韵纽），头一字下以反切注音。每字均有释义。据陆法言《切韵序》所说切韵之目的不在于“诗家承谱”，而是放眼“范式方音”和“广文路”、“赏知音”的，换言之，创建一个可以广泛应用的音韵之规范。他还指出，当时各地的方言、文人发音都非雅音，所以非常需要如此韵书。对比和批评其系统保留在其增订本《广韵》中流传至今，《广韵》中也收录了切韵序一章。近世也陆续有该书的残本出土，得以与《广韵》相印证。而也正因为陆氏追求的是“辨析毫厘，分别黍累”，所以也常在此处被人指摘。...

拓扑和光滑结构切丛带有一个自然的拓扑（不是不交并拓扑（disjointuniontopology））以及微分结构，使得它自己成为一个流形。T(M)的维数是M的两倍。每个n维向量空间的切空间是一个n维向量空间。那么作为一个集合，T(M)和M×R同构。但作为一个流形，T(M)并不总是和积流形M×R微分同胚。这在切丛是平凡的时候是真的。就象流形局部由欧几里得空间构造一样，切丛局部构造在M×R上。若M是一个n维流形，则它有一个图册（Uα,φα）其中Uα是M中开集而是一个同胚。U上的这些局部坐标对于每个x∈U给出了TxM和R之间的一个同构。我们然后可以定义一个映射这是通过下式完成的我们用这些映射来定义T(M)上的拓扑和光滑结构。T(M)的子集A是开的当且仅当对于每个α，ϕϕ-->~~-->αα-->(A∩∩-->Uαα-->){\displaystyle{\tilde{\phi}}_{\alpha}...

外部链接切維·切斯在互联网电影数据库（IMDb）上的资料（英文）互联网外百老汇数据库（Iobdb）上切維·切斯的资料（英文）