约化为两个独立的单体问题

在一个物理系统里，假设两个粒子的质量分别为m1{\displaystyle m_{1}\,\!}、m2{\displaystyle m_{2}\,\!}，在时间t=0{\displaystyle t=0\,\!}的初始位置分别为x10{\displaystyle \mathbf {x} _{10}\,\!}、x20{\displaystyle \mathbf {x} _{20}\,\!}，初始速度分别为v10{\displaystyle \mathbf {v} _{10}\,\!}、v20{\displaystyle \mathbf {v} _{20}\,\!}，计算这两个粒子的轨迹函数x1(t){\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)\,\!}及x2(t){\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)\,\!}的问题，称为二体问题。

根据牛顿第二定律：

其中，FAB{\displaystyle \mathbf {F} _{AB}\,\!}表示粒子B施加于粒子A的作用力。

二体问题的雅可比坐标(Jacobi coordinates)为质心坐标R=m1Mx1+m2Mx2{\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}}和相对坐标r=x1− − -->x2{\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}}；其中，M=m1+m2 {\displaystyle M=m_{1}+m_{2}\ }。

将方程(1)与方程(2)相加，可以得到一个方程，专门描述两个粒子的质心运动。将方程(1)与方程(2)的相减，则可得到描述两个粒子相对的位移矢量r=x1− − -->x2{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\,\!}与时间之间的关系。将这两个独立的单体问题的解答结合起来，就可以求得轨迹函数x1(t){\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)\,\!}和x2(t){\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)\,\!}。

质心运动（第一个单体问题）

质心的位置由两个粒子的位置和质量给出：

其中，M=m1+m2{\displaystyle M=m_{1}+m_{2}\,\!}是系统的总质量。

质心的加速度为：

由于没有外力作用，将方程(1)与(2)相加，根据牛顿第三定律，可以得到

因此，质心的加速度等于零，质心的速度vcm{\displaystyle \mathbf {v} _{cm}\,\!}为常数：

这物理系统的动量守恒：

从两个粒子的初始位置和初始速度，就可以决定质心在任意时间的位置：

位移矢量运动（第二个单体问题）

将方程(1)、(2)分别除以m1{\displaystyle m_{1}\,\!}、m2{\displaystyle m_{2}\,\!}，然后相减，可以得到

其中，r{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}是个从粒子2位置指到粒子1位置的位移矢量。

应用牛顿第三定律，F12=− − -->F21{\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}\,\!}。所以，

两个粒子之间的作用力应该只是相对位置r{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}的函数，而不是绝对位置x1{\displaystyle \mathbf {x} _{1}\,\!}、x2{\displaystyle \mathbf {x} _{2}\,\!}的函数；否则，无法满足物理的平移对称，物理定律会因地而易，二体之间的物理关系无法普遍地成立于全宇宙。换句话说，在宇宙中，两个粒子的绝对位置无关紧要，因为它们是宇宙中唯一的两个粒子，是互相施加于彼此的作用力的源头。诚然地，这是一个不实际的问题，可以被视为一个思想实验。为了满足这问题的要求，两个粒子之间的作用力必须只是相对位置r{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}的函数。这样，相减得到的方程写为

其中，μ μ -->=m1m2/M{\displaystyle \mu =m_{1}m_{2}/M\,\!}是约化质量。

一但求得函数xcm(t){\displaystyle \mathbf {x} _{cm}(t)\,\!}与r(t){\displaystyle \mathbf {r} (t)\,\!}，就可以计算出两个粒子的轨迹方程x1(t){\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)\,\!}与x2(t){\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)\,\!}：

角动量

两个粒子的总角动量Ltot{\displaystyle \mathbf {L} _{tot}\,\!}为

其中，Lcm=xcm× × -->Mx˙ ˙ -->cm{\displaystyle \mathbf {L} _{cm}=\mathbf {x} _{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}_{cm}\,\!原点质心对于原点的角动量，Lrel=r× × -->μ μ -->r˙ ˙ -->{\displaystyle \mathbf {L} _{rel}=\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\,\!}是两个粒子对于质心的角动量。

回想前面质心的轨迹方程，

为了简化分析，设定质心的初始位置为0{\displaystyle 0\,\!}。也就是说，质心的直线运动经过原点。那么，

角动量守恒与有心力

二体问题的总力矩τ τ -->tot{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!}是

在物理学里，时常会遇到的万有引力、静电力等等，都是有心力。假设，作用力F12{\displaystyle \mathbf {F} _{12}\,\!}是有心力，则F12{\displaystyle \mathbf {F} _{12}\,\!}与r{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}同直线，总力矩τ τ -->tot{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!}等于0。根据角动量守恒定律，

因此，总角动量Ltot{\displaystyle \mathbf {L} _{tot}\,\!}是个常数，总角动量守恒。

请注意，并不是每一种力都是有心力。假设，两个粒子是带电粒子。由毕奥-萨伐尔定律与洛伦兹力定律所算出的作用力和反作用力并不是有心力。总力矩τ τ -->tot{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!}不等于0。总角动量不守恒；这是因为还有角动量并没有被计算在内。假若，将电磁场的角动量计算在内，则角动量守恒定律仍旧成立。

在很多物理系统里，作用力F(r){\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!}是一种有心力，以方程表示为

其中，r{\displaystyle r\,\!}是径向距离，r^ ^ -->{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}\,\!}是径向单位矢量。

这物理系统的运动方程为

更详尽细节，请参阅条目经典有心力问题（classical central force problem）。

平面运动与角动量守恒

总角动量与r{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}的点积为

这两个粒子的运动轨道必定包含于垂直于Ltot{\displaystyle \mathbf {L} _{tot}\,\!}的平面。假设作用力为有心力，则由于角动量守恒，这两个粒子必定运动于某特定平面，而常数矢量Ltot{\displaystyle \mathbf {L} _{tot}\,\!}垂直于这平面。

参阅

多体问题

开普勒定律

开普勒问题

拉普拉斯-龙格-楞次矢量

伯特兰定理

牛顿旋转轨道定理

参考文献

书籍

Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 978-0-08-021022-3 (hardcover) and ISBN 978-0-08-029141-3 (softcover)。

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