形式叙述和证明

解释

简单地说，阿基米德性质可以认为以下二句叙述的任一句：

给出任何数，你总能够挑选出一个整数大过原来的数。

给出任何正数，你总能够挑选出一个整数其倒数小过原来的数。

这等价于说，对于任何正实数a{\displaystyle a}、b{\displaystyle b}，如果a<b{\displaystyle a，则存在自然数n{\displaystyle n}，有

与实数的完备性的关系

实数的完备性蕴含了阿基米德性，证明利用了反证法：

假设对所有n{\displaystyle n}，na<b{\displaystyle na(注意na{\displaystyle na}表示n{\displaystyle n}个a{\displaystyle a}相加），令S={na|n=1,2,3,...}{\displaystyle S=\{na|n=1,2,3,...\}}，则b{\displaystyle b}为S{\displaystyle S}的上界(S{\displaystyle S}上方有界，依实数完备性，最小上界小上界，令其为α α -->{\displaystyle \alpha })，于是∀ ∀ -->n=1,2,3,...{\displaystyle \forall n=1,2,3,...}有

得出α α -->− − -->a{\displaystyle \alpha -a}也是S{\displaystyle S}的一个上界，这与α α -->{\displaystyle \alpha }是最小上界矛盾。这样就由实数的完备性推出了阿基米德性质，但阿基米德性推不出实数的完备性，因为有理数满足阿基米德性，但并不是完备的。

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