族谱网 头条 人物百科

爱因斯坦模型

2020-10-16
出处:族谱网
作者:阿族小谱
浏览:1092
转发:0
评论:0
历史上的影响原先的理论是由爱因斯坦在1907年提出的,具有很大的历史相关性。由杜隆-珀蒂定律所预言的固体的热容已经知道是与经典力学一致的。然而,低温下的实验观察表明,热容在绝对零度时趋于零,在高温时单调增加到杜隆-珀蒂定律的预言。利用普朗克的量子化假设,爱因斯坦第一次能够预言所观察到的实验趋势。与光电效应在一起,这成为需要量子化的最重要的证据之一(值得注意的是,爱因斯坦是在现代量子力学的出现的许多年之前解决了量子谐振子问题)。尽管它成功了,但是爱因斯坦却错误预言为指数趋近于零,而正确的表现则是遵守T3{\displaystyleT^{3}}幂定律。这个缺陷后来由德拜模型在1912年纠正。热容(微正则系综)比较德拜、爱因斯坦分别对于热容与温度之间关系的预测。注意到在高温时趋于3Nk的实验值恒定体积V的物体的热容,通过内能U定义为:T{\displaystyleT}是系统的温度,可以从熵求出:...

历史上的影响

原先的理论是由爱因斯坦在1907年提出的,具有很大的历史相关性。由杜隆-珀蒂定律所预言的固体的热容已经知道是与经典力学一致的。然而,低温下的实验观察表明,热容在绝对零度时趋于零,在高温时单调增加到杜隆-珀蒂定律的预言。利用普朗克的量子化假设,爱因斯坦第一次能够预言所观察到的实验趋势。与光电效应在一起,这成为需要量子化的最重要的证据之一(值得注意的是,爱因斯坦是在现代量子力学的出现的许多年之前解决了量子谐振子问题)。尽管它成功了,但是爱因斯坦却错误预言为指数趋近于零,而正确的表现则是遵守 T 3 {\displaystyle T^{3}} 幂定律。这个缺陷后来由德拜模型在1912年纠正。

热容(微正则系综)

爱因斯坦模型

比较德拜、爱因斯坦分别对于热容与温度之间关系的预测。注意到在高温时趋于3 Nk 的实验值

恒定体积 V 的物体的热容,通过内能 U 定义为:

T {\displaystyle T} 是系统的温度,可以从熵求出:

为了求出熵,考虑由 N {\displaystyle N} 个原子所组成的固体,每一个原子都有3个自由度。因此,总共有 3 N {\displaystyle 3N} 个量子谐振子(以下称SHO)。

SHO的可能的能量为:

或者说,能级是均匀分隔的,我们可以定义能量的 量子 :

它是SHO的能量可以增长的最小的,也是唯一的数量。接着,我们必须计算系统的多重性。也就是说,计算有多少种方法把 q {\displaystyle q} 个能量量子分布在 N ′ ′ --> {\displaystyle N^{\prime }} 个SHO。我们可以想象把 q {\displaystyle q} 个石头分布在 N ′ ′ --> {\displaystyle N^{\prime }} 个盒子中:

或把一堆石头分成 N ′ ′ --> − − --> 1 {\displaystyle N^{\prime }-1} 份:

或把 q {\displaystyle q} 个石头和 N ′ ′ --> − − --> 1 {\displaystyle N^{\prime }-1} 个划分排成一行:

最后一个图最能说明问题。把 n {\displaystyle n} 样东西排成一行,有 n ! {\displaystyle n!} 种方法。因此,把 q {\displaystyle q} 个石头和 N ′ ′ --> − − --> 1 {\displaystyle N^{\prime }-1} 个划分排成一行的方法有 ( q + N ′ ′ --> − − --> 1 ) ! {\displaystyle \left(q+N^{\prime }-1\right)!} 种,然而,如果把第2个划分和第5个划分互换位置,是没有任何不同的。相同的理由对量子也成立。为了得出可能的 不可区分 的排列方法,我们必须把排列的总数除以 不可区分 的排列的数目。一共有 q ! {\displaystyle q!} 种相同的量子排列,以及 ( N ′ ′ --> − − --> 1 ) ! {\displaystyle (N^{\prime }-1)!} 种相同的划分排列。因此,系统的多重性为:

正如上面所提及的,这就是把 q {\displaystyle q} 个能量量子放在 N ′ ′ --> − − --> 1 {\displaystyle N^{\prime }-1} 个谐振子中的方法数目。系统的熵具有下列形式:

N ′ ′ --> {\displaystyle N^{\prime }} 是一个很大的数,把它减去一总体上没有任何影响:

利用斯特灵公式的帮助,熵可以简化:

固体的总能量为:

我们现在来计算温度:

把这个公式两边取倒数,以求出 U :

两边关于温度求导,以求出 C V {\displaystyle C_{V}} :

虽然固体的爱因斯坦模型准确预言高温时的热容,在低温时与实验值仍有明显的差距。关于低温时准确的热容计算,参见德拜模型。

热容(正则系综)

热容可以通过利用SHO的正则配分函数来获得。

其中

把该式代入配分函数的公式,得:

这是 一个 SHO的配分函数。因为,统计上来说,固体的热容、能量,以及熵,都是在它的原子(SHO)中均匀分布的,因此我们可以利用这个配分函数来获得这些物理量,然后直接把它们乘以 N ′ ′ --> {\displaystyle N^{\prime }} 以得出总量。接着,我们来计算每一个谐振子的平均能量:

其中

因此:

于是, 一个 谐振子的热容为:

整个固体的热容由 C V = 3 N C V {\displaystyle C_{V}=3NC_{V}} 给出:

它与前面推导的公式是相等的。

物理量 T E = ε ε --> / k {\displaystyle T_{E}=\varepsilon /k} 的量纲是温度,是晶体的一个特有的性质。它称为“爱因斯坦温度”。因此,爱因斯坦晶体模型预言晶体的能量和热容是无量纲比率 T / T E {\displaystyle T/T_{E}} 的通用函数。类似地,德拜模型预言了比率 T / T D {\displaystyle T/T_{D}} 的通用函数。

参考文献

"Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme", A. Einstein, Annalen der Physik, volume 22, pp. 180-190, 1907.


免责声明:以上内容版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者,感谢每一位的分享。

——— 没有了 ———
编辑:阿族小谱
发表评论
写好了,提交
{{item.label}}
{{commentTotal}}条评论
{{item.userName}}
发布时间:{{item.time}}
{{item.content}}
回复
举报
点击加载更多
打赏作者
“感谢您的打赏,我会更努力的创作”
— 请选择您要打赏的金额 —
{{item.label}}
{{item.label}}
打赏成功!
“感谢您的打赏,我会更努力的创作”
返回

更多文章

更多精彩文章
打赏
私信

推荐阅读

· 德拜模型
推导德拜模型是普朗克黑体辐射定律的固态等价物,其中把电磁辐射视为盒中的光子气体。德拜模型把原子的振动视为盒中的声子(盒子就是固体)。大部分的计算步骤都是相同的。考虑一个边长为L{\displaystyleL}的立方体。从盒中粒子一文可知,盒中的声波干扰的谐振模(现在只考虑与一个轴对齐的)具有波长:其中n{\displaystylen}是整数。一个声子的能量是:其中h{\displaystyleh}是普朗克常数,νν-->n{\displaystyle\nu_{n}}是声子的频率。我们估计频率与波长成反比,得出:其中cs{\displaystylec_{s}}是固体中的声速。在三维空间中,我们将使用:频率与波长成反比的估计(意味着声速是恒定的)对于低能量声子是准确的,但对于高能量声子则不准确(参见声子)。这就是德拜模型的局限之一,对应于在中间的温度时结果的不准确,而在低温和高温时都是精...
· ΛCDM模型
参数模型含有六个基本参数。哈勃常数——决定宇宙的膨胀速率,以及宇宙闭合所需的临界密度ρρ-->0{\displaystyle\rho_{0}\,}。重子的密度、暗物质的密度和暗能量的密度,它们都归一到临界密度,即如ΩΩ-->b=ρρ-->b/ρρ-->0{\displaystyle\Omega_{b}=\rho_{b}/\rho_{0}\,}。由于模型假设空间是平直的,三者的密度之和等于临界密度,从而暗能量的密度并不是一个独立参数。光深度——决定宇宙再电离的红移。密度涨落的信息由太初微扰的涨落振幅(源自宇宙暴胀)和能谱指数共同决定,其中能谱指数ns{\displaystylen_{s}\,}表征涨落如何随尺度变化(ns=1{\displaystylen_{s}=1\,}表示尺度不变的能谱)。模型中包含的误差分析显示,实际的真实值有68%的置信概率落到测量结果的上下限...
· OSI模型
历史在制定计算机网络标准方面,起着重大作用的两大国际组织是:国际电信联盟电信标准化部门(CCITT),与国际标准化组织(ISO),虽然它们工作领域不同,但随着科学技术的发展,通信与信息处理之间的界限开始变得比较模糊,这也成了CCITT和ISO共同关心的领域。1983年,ISO发布了著名的ISO/IEC7498标准,它定义了网络互联的7层框架,也就是开放式系统互联参考模型。层次划分根据建议X.200,OSI将计算机网络体系结构划分为以下七层,标有1~7,第1层在底部。现“OSI/RM”是英文“OpenSystemsInterconnectionReferenceModel”的缩写。第7层应用层(ApplicationLayer)提供为应用软件而设的界面,以设置与另一应用软件之间的通信。例如:HTTP,HTTPS,FTP,TELNET,SSH,SMTP,POP3等。第6层表达层(Present...
· 火箭模型
明(公元1368-1644年)。长108厘米。在箭支前端缚火药筒,利用火药向后喷发产生的反作用力把箭发射出去。这是世界上最早的喷射火器。
· 模型论
定义结构被形式的定义于某个语言L的上下文中,它由常量符号的集合,关系符号的集合,和函数符号的集合组成。在语言L上的结构,或L-结构,由如下东西组成:一个全集或底层集合A,它包含所有感兴趣的对象("论域"),给L的每个常量符号一个在A中元素,给L的每个n价函数符号一个从A到A的函数,和给L的每个n价关系符号一个在A上的n-元关系(换句话说,A的一个子集)。函数或关系的价有时也叫做元数(术语"一元"、"二元"和"n-元"中的那个元)。在语言L中的理论,或L-理论,被定义为L中的句子的集合。如果句子的集合闭合于通常的推理规则之下,则被称为闭合理论。例如,在某个特定L-结构下为真的所有句子的集合是一个闭合L-理论。L-理论T的模型由在其中T的所有句子都为真的一个L-结构组出,它通常用T-模式的方式定义。理论被称为可满足...

关于我们

关注族谱网 微信公众号,每日及时查看相关推荐,订阅互动等。

APP下载

下载族谱APP 微信公众号,每日及时查看
扫一扫添加客服微信