自由函子

范畴论为自由对象提供了普遍框架。考虑一种代数结构（如群、模等等）的范畴 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 。其上具有一个遗忘函子 U : C → → --> S e t {\displaystyle U:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} } ，此函子将一个对象映至其下的集合；换言之，此函子“遗忘”所有代数操作。

若 U {\displaystyle U} 有左伴随函子 F : S e t → → --> C {\displaystyle F:\mathbf {Set} \to {\mathcal {C}}} ，则称之为 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的 自由函子 。 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 可以设想为由集合 X {\displaystyle X} 生成的自由对象，此时也有映射 X → → --> F ( X ) {\displaystyle X\to F(X)} （在此滥用了符号：其实 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 是个代数结构，而 X {\displaystyle X} 却是集合），此映射可理解为从生成元到自由对象的包含映射。

对于更一般的遗忘函子，也能考虑相应的自由函子，例如从 k {\displaystyle k} -向量空间映至其张量代数的函子，便是从 k {\displaystyle k} -代数映至 k {\displaystyle k} -向量空间的遗忘函子之左伴随函子。在此意义下，张量代数有时也称为自由代数。

例子

自由半群

自由么半群

自由群

自由阿贝尔群

自由模

自由格

自由代数

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