定理叙述

一维形式

设f:[a,b]→ → -->C{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {C} }是可测函数，对任何ϵ ϵ -->>0{\displaystyle \epsilon >0}，都存在紧致集E⊂ ⊂ -->[a,b]{\displaystyle E\subset [a,b]}，使得λ λ -->([a,b]∖ ∖ -->E){\displaystyle \lambda ([a,b]\setminus E) ，而且f限制到E上是连续函数。此处λ λ -勒贝格测度{\displaystyle \lambda }是勒贝格测度。

证明

因为f可测，所以在一个测度任意小的开集以外，f是有界函数。在开集上重定义f为0，那么f在[a,b]上有界，因而是可积函数。因为连续函数在可积函数的空间L1([a,b]){\displaystyle \mathrm {L} ^{1}([a,b])}中稠密，存在连续函数序列gi{\displaystyle g_{i}}依L1范数收敛至f，即∫ ∫ -->ab|gi− − -->f|→ → -->0{\displaystyle \int _{a}^{b}\left|g_{i}-f\right|\to 0}。故此有子序列gik{\displaystyle g_{i_{k}}}几乎处处收敛至f。从叶戈罗夫定理可知，除了一个测度任意小的开集外，gik{\displaystyle g_{i_{k}}}一致收敛至f。因为连续函数的一致收敛极限仍是连续的，故此f在此开集外连续。取E为以上两个开集的并集在[a,b]中的补集，那么原本的f在E上连续。

多维形式

设μ μ -->{\displaystyle \mu }是Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}上博雷尔测度尔测度，f:Rn→ → -->Rm{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}是μ μ -->{\displaystyle \mu }可测函数。X是Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}中的μ μ -->{\displaystyle \mu }可测集，而且μ μ -->(X){\displaystyle \mu (X) ，那么对任意ϵ ϵ -->>0{\displaystyle \epsilon >0}，X中存在紧致集K，使得μ μ -->(X∖ ∖ -->K){\d连续函数aystyle \mu (X\backslash K) ，而且f限制到K上是连续函数。

证明首先，对每个正整数i，构造紧致集Ki{\displaystyle K_{i}}和在其上的连续函数gi{\displaystyle g_{i}}，使得μ μ -->(X∖ ∖ -->Ki)/2i{\displaystyle \mu (X\setminus K_{i}) 且在Ki{\displaystyle K_{i}}上有|f(x)− − -->gi(x)|<1/i{\displaystyle \left|f(x)-g_{i}(x)\right|{\displaystyle (Y_{ij})直径j=1}^{\infty }}，使得每个集的直径都小于1/i。函数f可测，所以每个集的原像f− − -->1(Yij){\displaystyle f^{-1}(Y_{ij})}是可测集。令Xij=X∩ ∩ -->f− − -->1(Yij){\displaystyle X_{ij}=X\cap f^{-1}(Y_{ij})}，则Xij{\displaystyle X_{ij}}将X分成两两不交的可测集。由于μ μ -->{\displaystyle \mu }是博雷尔正则测度，且μ μ -->(X){\displaystyle拉东测度 (X) ，于是μ μ -->{\displaystyle \mu }限制到X上是拉东测度。由拉东测度的内正则性，在Xij{\displaystyle X_{ij}}中存在紧致子集Kij{\displaystyle K_{ij}}，使得μ μ -->(Xij∖ ∖ -->Kij)/2i+j{\displaystyle \mu (X_{ij}\setminus K_{ij}) 所以全部子集Xij∖ ∖ -->Kij{\displaystyle X_{ij}\setminus K_{ij}}的不交并集的测度μ μ -->(X∖ ∖ -->⋂ ⋂ -->j=1∞ ∞ -->Kij)/2i{\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij}) 因为μ μ -->(X∖ ∖ -->⋂ ⋂ -->j=1∞ ∞ -->Kij)=limn→ → -->∞ ∞ -->μ μ -->(X∖ ∖ -->⋂ ⋂ -->j=1nKij){\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij})=\lim _{n\to \infty }\mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{n}K_{ij})}，可以取足够大的N使得μ μ -->(X∖ ∖ -->⋂ ⋂ -->j=1NKij)/2i{\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{N}K_{ij}) 令Ki=⋂ ⋂ -->j=1NKij{\displaystyle K_{i}=\bigcap _{j=1}^{N}K_{ij}}。有限个紧致集的并集是紧致集，所以Ki{\displaystyle K_{i}}紧致。因此Ki{\displaystyle K_{i}}满足要求。对j=1,..., N，在Yij{\displaystyle Y_{ij}}中任取一点yij{\displaystyle y_{ij}}，并在Kij{\displaystyle K_{ij}}上定义gi(x)=yij{\displaystyle g_{i}(x)=y_{ij}}。因为在Kij{\displaystyle K_{ij}}上，f的值包含在Yij{\displaystyle Y_{ij}}中，故此f和gi{\displaystyle g_{i}}相差小于1/i。而Kij{\displaystyle K_{ij}}是两两不交的紧致集，故两两间的距离都是正数，所以gi{\displaystyle g_{i}}在Ki{\displaystyle K_{i}}上是连续函数。因此gi{\displaystyle g_{i}}满足要求。取K=⋂ ⋂ -->i=1∞ ∞ -->Ki{\displaystyle K=\bigcap _{i=1}^{\infty }K_{i}}，K是紧致集，并有μ μ -->(X∖ ∖ -->K)≤ ≤ -->∑ ∑ -->i=1∞ ∞ -->μ μ -->(X∖ ∖ -->Ki){\displaystyle \mu (X\setminus K)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (X\setminus K_{i}) 函数列gi{\displaystyle g_{i}}在K上一致收敛到f。一致收敛保持函数的连续性，所以f在K上连续。

参考

Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.

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