分类和描述

正图形最基础的分类是按其维度。

它们能够按照对称性进一步分类。例如，正方体和正八面体有着相同的对称性，同样，正十二面体和正二十面体也是。事实上，对称群大多依照正图形命名，例如正四面体对称群和正二十面体对称群。

3种特殊类型的正图形存在于所有维度：

单纯形（正单形）

超方形（正测形）

正轴形（交叉形）

在二维，这里有无穷多个正多边形。在三维和四维这里有许多上述三种之外的正多面体和正多胞体。在五维及以上维，只存在这三种类型的正图形。另见正图形列表。

正图形的概念有时被扩展，使其包括了另外一些相关的几何对象。其中一些有正的例子，下面“历史发现”一章将会详细说明。

施莱夫利符号

施莱夫利符号是一个简洁有力的多面体表示法，是19世纪由维希·施莱夫利所发明的，一个改进了的版本随后成为了标准。这种记号可通过维度依次增加一获得最好的解释。

一个有 n 条边的凸正多边形可以标记为{ n }。所以一个等边三角形是{3}，一个正方形是{4}……一个绕其中心旋转 m 圈的正星形多边形被标记为分式{ n / m }，这里 n 和 m 是互质的，例如正五角星是{5/2}。

一个有着面{ n }，并且一个顶点处有 p 个面相交的正多面体标记为{ n , p }。九个正多面体是：{3, 3}、{3, 4}、{4, 3}、{3, 5}、{5, 3}、{3, 5/2}、{5/2, 3}、{5, 5/2}和{5/2, 5}。{ p }就是这个正多面体的 顶点图 。

一个有着胞{ n , p }，并且每一条棱处有 q 个胞相交的正多胞体标记为{ n , p , q }。其顶点图为{ p , q }。

一个五维正多胞体是{ n , p , q , r }，等等。

正图形的对偶性

正图形的对偶形也是正图形。对偶图形的施莱夫利符号就是将原来的符号倒过来写：{3,3}为自身对偶，{3,4}与{4,3}对偶，{4,3,3}与{3,3,4}对偶，以此类推。

正图形的顶点图的对偶即是其对偶图形的维面。例如{3,3,4}的顶点图是{3,4}，其对偶即是{4,3} — {4,3,3}的一个胞。

任何维的超方形和正轴形都是互相对偶的。

如果其施莱夫利符号是回文，即正反读都一样，那么这个正图形就是自身对偶的。自身对偶正图形包括：

点

线段，{}。

所有的正多边形，{a}。

所有的 n -正单纯形，{3,3,3,...,3,3,3}。

四维正多胞形正二十四胞体，{3,4,3}。

所有 n 维超方形堆砌，{4,3,3,...,3,3,4}。这些在多胞形学中被看作无穷多胞形。

正单纯形

我们从点 A 开始。标下与 A 相距 r 的点 B ，并连接它们，形成线段。在垂直与它的第二维度标下与 A 、 B 都相距 r 的第三点 C ，并连接 AC 、 BC ，形成正三角形。在垂直与它的第三维度标下与三点都相距 r 的第四点 D ，连接四点，便形成正四面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

这些就是 正单纯形 。以维度来排序，它们是：

超方形

从一个点 A 开始。连一条线到距离为 r 的 B ，形成一条线段。延伸第二条长为 r 的线，垂直于 AB ，将 B 连接到 C ，同样链接 A 到 D ，形成一个正方形 ABCD 。从每个顶点同样延伸出长为 r 的线，同时垂直于 AB 和 BC ，标记点 E 、 F 、 G 、 H 形成立方体 ABCD-EFGH 。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

它们就是 超方形 或称 正测形 。以维度来排序，它们是：

正轴形

从一个点 O 开始。从 O 向两个相反的方向延出两条线到距 O 点距离为 r 的 A 和 B ，互相之间距离为2 r ，形成一条线段。同样再画线段 COD ，长度为2 r ，以 O 为中点而垂直于 AB 。连接4个顶点形成正方形 ACBD 。再画线段 EOF ，同样长度为2 r ，中点为 O ，同时垂直于 AB 和 CD （即上下方向）。将其顶点与正方形顶点一一相连得到正八面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

这样得到的图形称为 正轴形 或 交叉形 。以维度来排序，它们是：

正无穷胞体 — 无穷多胞形

参见

正图形列表

Johnson solid

Bartel Leendert van der Waerden

参考文献

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Ernst Haeckel"s Kunstformen der Natur online (German)

Interesting fold-out nets of the cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron

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