定义

多项式函数与多项式

在初等数学与微积分中， 多项式 视同 多项式函数 ，两者在一般的域或环上则有区别。举例言之，考虑有限域 F 2 := Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {F} _{2}:=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } 上的多项式

此多项式代任何值皆零，故给出零函数，但其形式表法非零。

我们宁愿将多项式看作形式的符号组合，以得到较便利的代数理论。且考虑多项式在域扩张之下的性质：就函数观点，多项式函数在域扩张下的行为颇复杂，上述 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 给出 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 上的零函数，但视为 F 4 {\displaystyle \mathbb {F} _{4}} 上的多项式函数则非零；而就形式观点，只须将系数嵌入扩张域即可。

形式定义

于是我们采取下述定义：令 R {\displaystyle R} 为环。一个单变元 X {\displaystyle X} 的多项式 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 定义为下述形式化的表法：

其中 a i {\displaystyle a_{i}} 属于 R {\displaystyle R} ，称作 X i {\displaystyle X^{i}} 的 系数 ，而 X {\displaystyle X} 视作一个形式符号。两多项式相等当且仅当每个 X i {\displaystyle X^{i}} 的系数均相同。次数最大的非零系数称为该多项式的 领导系数 ，或者 首项系数 。

更严谨的说法或许是将多项式定义为系数的序列 a = ( a n ) n ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle a=(a_{n})_{n\geq 0}} ，使得其中仅有有限项非零。但是我们在实践上总是用变元 X {\displaystyle X} 及其幂次表达。

多项式的运算

以下固定环 R {\displaystyle R} ，我们将推广初等数学中熟悉的多项式运算。

环结构

多项式的加法由系数逐项相加定义，而乘法则由下列法则唯一地确定：

分配律：对所有 R {\displaystyle R} 上的多项式 P ( X ) , Q ( X ) , R ( X ) {\displaystyle P(X),Q(X),R(X)} ，恒有

对所有 a ∈ ∈ --> R {\displaystyle a\in R} ，有 X a = a X {\displaystyle X\,a=a\,X}

对所有非负整数 k , l {\displaystyle k,l} ，有 X k ⋅ ⋅ --> X l = X k + l {\displaystyle X^{k}\cdot X^{l}=X^{k+l}}

运算的具体表法如下：

∑ ∑ --> i = 0 n a i X i + ∑ ∑ --> i = 0 n b i X i = ∑ ∑ --> i = 0 n ( a i + b i ) X i {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})X^{i}}

( ∑ ∑ --> i = 0 n a i X i ) ( ∑ ∑ --> j = 0 m b j X j ) = ∑ ∑ --> k = 0 m + n ( ∑ ∑ --> μ μ --> + ν ν --> = k a μ μ --> b ν ν --> ) X k {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{\mu +\nu =k}a_{\mu }b_{\nu }\right)X^{k}}

当 R {\displaystyle R} 是交换环时， R [ X ] {\displaystyle R[X]} 是个 R {\displaystyle R} 上的代数。

多项式的合成

设 P ( X ) = ∑ ∑ --> a i X i {\displaystyle P(X)=\sum a_{i}X^{i}} 而 Q ( X ) {\displaystyle Q(X)} 为另一多项式，则可定义两者的 合成 为

求值

对于任一多项式 P ( X ) = ∑ ∑ --> a i X i {\displaystyle P(X)=\sum a_{i}X^{i}} 及 r ∈ ∈ --> R {\displaystyle r\in R} ，我们可考虑 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 对 r {\displaystyle r} 的 求值 ：

固定 r ∈ ∈ --> R {\displaystyle r\in R} ，则得到一个环同态 s r : R [ X ] → → --> R {\displaystyle s_{r}:R[X]\rightarrow R} ，称作求值同态；此外它还满足

导数

在微积分中，多项式的微分由微分法则 ( x k ) ′ = k x k − − --> 1 {\displaystyle (x^{k})"=kx^{k-1}} 确定。虽然一般的环上既无拓扑结构更无完备性，我们仍然可形式地定义多项式的导数为：

这种导数依然满足 ( P Q ) ′ = P ′ Q + P Q ′ {\displaystyle (PQ)"=P"Q+PQ"} 与 ( P + Q ) ′ = P ′ + Q ′ {\displaystyle (P+Q)"=P"+Q"} 等性质。对于系数在域上的多项式，导数也可以判定重根存在与否。

多变元的情形

上述定义可以推广到任意个变元（包括无限个变元）的情形。对于有限变元的多项式环 R [ X 1 , … … --> , X n ] {\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]} ，也可以采下述构造：

先考虑两个变元 X , Y {\displaystyle X,Y} 的例子，我们可以先构造多项式环 R [ X ] {\displaystyle R[X]} ，其次构造 ( R [ X ] ) [ Y ] {\displaystyle (R[X])[Y]} 。可以证明有自然同构 ( R [ X ] ) [ Y ] ≅ ≅ --> R [ X , Y ] {\displaystyle (R[X])[Y]\cong R[X,Y]} ，例如多项式

也可以视作

对 ( R [ Y ] ) [ X ] {\displaystyle (R[Y])[X]} 亦同。超过两个变元的情形可依此类推。

性质

若 R 是域，则 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 是主理想环（事实上还是个欧几里得整环）。

若 R 是唯一分解环，则 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 亦然。

若 R 是整环，则 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 亦然。

若 R 是诺特环，则 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 亦然；这是希尔伯特基底定理的内容。

任一个交换环 R {\displaystyle R} 上的有限生成代数皆可表成某个 R [ X 1 , … … --> , X n ] {\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]} 的商环。

在数学中的角色

多项式环对理想的商是构造环的重要技术。例子包括从同余系 Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } 构造有限域，或从实数构造复数等等。

弗罗贝尼乌斯多项式是另一个跟多项式环相关的环，此环的乘法系采用多项式的合成而非乘法。

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。