来自日常生活的解释伯努利试验指的是单次事件，而这次事件的结果是两个可能性结果中的一个。这样的事件都可以表达成“是或否”（"yesorno"）问题。例如：硬币掉落后是人头朝上吗？刚出生的小孩是个女孩吗？一个人的双眼是绿色的吗？在有蚊子的地方喷洒杀虫剂，蚊子会死掉吗？一个可能是顾客的人会买我的产品吗？公民（citizen）会投给特定的候选人吗？雇员会投票支持工会吗?因此结果称为“成功”和“失败”，而结果不应该照字面推断。伯努利试验的例子包括：抛硬币。在这里，正面（人头面）通常表示成功而反面（刻字面）表示失败。一枚均匀硬币，按照定义成功机会是一半p=1/2。掷骰子，在这个例子里我们称六是"成功"而其他都是"失败"，p=1/6。在四式选择题，答对的机会p=1/4。实施一个政见调查（politicalopinionpoll），随机选择一个投...

等幂求和伯努利数Bn是等幂求和的解析解中最为明显的特征，定义等幂和如下，其中m,n≥0：这数列和的公式必定是变数为n，次数为m+1次的多项式，称为伯努利多项式。伯努利多项式的系数与伯努利数有密切关系如下：其中(m+1k)为二项式系数。举例说，把m取为1，我们有1+2+...+n=12(B0n2+2B1+n1)=12(n2+n).{\displaystyle1+2+...+n={\frac{1}{2}}\left(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1}\right)={\frac{1}{2}}\left(n^{2}+n\right).}伯努利数最先由雅各布·伯努利研究，棣莫弗以他来命名。伯努利数可以由下列递推公式计算：初值条件为B0=1。伯努利数也可以用母函数技巧定义。它们的指数母函数是x/（e−1），使得对所有绝对值小于2π的x（幂指数的收敛半径），有有时会写成小写bn，以便...

大学教育约翰的父亲经营香料事业，是一位成功的商人。父亲很希望约翰跟着他去学做生意，以后接手延续家庭的香料事业。可是，约翰对做生意实在没有什么兴趣。约翰说千说万，终于说服了择善固执的父亲，准许他去学习医术，将来能够悬壶济世。1683年，约翰进入巴塞尔大学，主修医科。但是，约翰打心底并不喜欢学医。空闲的时候，他开始与他哥哥雅各布一起读数学。后来，他们大多数的时间都用在研读刚刚发现的微积分。在那个时代，他们不但最先地研读与了解微积分，而且是最先应用微积分于各种问题的数学家。职业生涯从巴塞尔大学毕业后，约翰迁移至日内瓦，在那里教微分方程。1694年，约翰与(DorotheaFalkner)共结连理。不久后，他成为格罗宁根大学的数学教授。1705年，由于岳父病重，想要与女儿共享天伦之乐。因此，约翰决定返回巴塞尔家乡教书。在归途中，他得到哥哥雅各布因患肺结核过世的噩耗。约翰原本去巴塞尔大学当希腊文教授...

参见概率论伯努利试验伯努利过程概率分布二项分布

其它的表示公式伯努利双纽线在极坐标中也有简洁的表示。在双极坐标系，伯努利双纽线的方程也类似：伯努利双纽线的参数方程为：{x=acos2θθ-->cosθθ-->y=acos2θθ-->sinθθ-->,θθ-->∈∈-->[−−-->ππ-->4,ππ-->4]∪∪-->[34ππ-->,54ππ-->]{\displaystyle{\begin{cases}x=a{\sqrt{cos2\theta}}cos\theta\\y=a{\sqrt{cos2\theta}}sin\theta\end{cases}},\theta\in[-{\frac{\pi}{4}},{\frac{\pi}{4}}]\cup[{\frac{3}{4}}\pi,{\frac{5}{4}}\pi]}曲率伯努利双纽线的曲率在直角坐标系中可以表示为...