定义

令 p {\displaystyle p} 是曲面 S {\displaystyle S} 上一点，考虑 S {\displaystyle S} 上过 p {\displaystyle p} 的所有曲线 C i {\displaystyle C_{i}} 。每条这样的 C i {\displaystyle C_{i}} 在 p {\displaystyle p} 点有一个伴随的曲率 K i {\displaystyle K_{i}} 。在这些曲率 K i {\displaystyle K_{i}} 中，至少有一个极大值 κ κ --> 1 {\displaystyle \kappa _{1}} 与极小值 κ κ --> 2 {\displaystyle \kappa _{2}} ，这两个曲率 κ κ --> 1 , κ κ --> 2 {\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}} 称为 S {\displaystyle S} 的主曲率。

p ∈ ∈ --> S {\displaystyle p\in S} 的 平均曲率 是两个主曲率的平均值（斯皮瓦克 1999，第3卷，第2章），由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值 ，故有此名。

利用第一基本形式与第二基本形式的系数，平均曲率表示为：

这里 E , F , G {\displaystyle E,F,G} 是第一基本形式的系数， L , M , N {\displaystyle L,M,N} 为第二基本形式的系数。

平均曲率可推广为更一般情形 （斯皮瓦克 1999，第4卷，第7章），一个超曲面 T {\displaystyle T} 的平均曲率为：

更抽象地说，平均曲率是第二基本形式（或等价地，形算子）的迹 × × --> 1 n {\displaystyle \times {\frac {1}{n}}} 。

另外，平均曲率 H {\displaystyle H} 可以用共变导数 ∇ ∇ --> {\displaystyle \nabla } 写成

这里利用了高斯-Weingarten 关系， X ( x , t ) {\displaystyle X(x,t)} 是一族光滑嵌入超曲面， n → → --> {\displaystyle {\vec {n}}} 为单位法向量，而 g i j {\displaystyle g_{ij}} 是度量张量。

一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外，平面 S {\displaystyle S} 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。

3 维空间中曲面

对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位法向量相关：

这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的散度。

对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如 z = S ( x , y ) {\displaystyle z=S(x,y)} ，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为

如果曲面还是轴对称的，满足 z = S ( r ) {\displaystyle z=S(r)} ，则

流体力学

在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2：

这出现于杨-拉普拉斯公式中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 H f {\displaystyle H_{f}} ；两个曲率等于小滴半径的倒数 κ κ --> 1 = κ κ --> 2 = r − − --> 1 {\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}} 。

极小曲面

Costa 极小曲面示意图

一个 极小曲面 是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链曲面、螺旋面、Scherk 曲面与 Enneper 曲面。新近发现的包括 Costa 极小曲面（Costa"s minimal surface，1982年）与 Gyroid（Gyroid，1970年）。

极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf 的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente 在1986年曾构造出这样的自交环面（陈维桓 2006，4.6节）。

参见

高斯曲率

平均曲率流

逆平均曲率流

面积公式第一变分

参考文献

斯皮瓦克, 迈克尔, A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) 3rd, Publish or Perish Press, 1999, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4) .

陈维桓, 微分几何, 北京大学出版社, 2006, ISBN 7-307-10709-9

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