范例

加法循环群 Z 4 = {0, 1, 2, 3} = G 有子群 H = {0, 2}（同构于 Z 2 )。 H 在 G 中的左陪集为

因此存在两种不同的陪集 H 本身和1 + H = 3 + H 。注意每个 G 中元素或者在 H 中，或者在1 + H 中，也即， H ∪ (1 + H ) = G ，所以 H 在 G 中不同的陪集构成 G 的一个划分。因为 Z 4 是交换群，右陪集和左陪集相同。

另一个陪集的例子来自线性空间中。线性空间的向量在向量加法下组成一个阿贝尔群。可以证明原来的线性空间的子空间是这个群的子群。对于给定的线性空间 V ，子空间 W 和 V 中的一个固定向量 a ，集合

被称为“仿射子空间”。它们都是 W 的陪集。对于欧几里得空间，仿射子空间代表与给定的过原点的直线或平面平行的直线或平面。

性质

gH = H 当且仅当 g 是 H 中的元素。

一个子群 H 的两个左（右）陪集要么相同，要么不交——即左（右）陪集的集合构成了群 G 的一个划分：群中的每个元素属于且仅属于一个左（右）陪集。特别地，单位元只在一个陪集中，即是 H 自己。因此 H 也是所有左（右）陪集中唯一的子群。这个划分称为 G 对 H 的 左 （ 右 ） 陪集分解 。

如果定义 G 中的等价关系为： x ~ H y （ x 等价于 y ）当且仅当 x y ∈ H ，那么 H 在 G 中的左陪集正是所有不同的等价类。类似的结论对右陪集也成立（当 x y − − --> 1 ∈ ∈ --> H {\displaystyle xy^{-1}\in H} ）。

一个陪集的 代表元 是建立在上述等价关系上的概念。陪集中的每个元素都可以作为该陪集的代表元。

H 的所有左（右）陪集的阶都是一样的。 H 在 G 中的左陪集个数和右陪集个数也是一样的，称为 H 在 G 中的 指数 。记作 [ G : H ] {\displaystyle [G:H]} 。由陪集的性质很容易得到拉格朗日定理，其说明在 G 为有限群时：

陪集与正规子群

如果 H 不是 G 的正规子群，那么它的左陪集和右陪集不相等：存在 G 中元素 a 使得不存在符合 aH = Hb 的元素 b ，或者说 H 的左陪集构成的划分（ G 对 H 的左陪集分解）不同于 H 的右陪集构成的划分（ G 对 H 的右陪集分解）。

另一方面，子群 N 为正规子群当且仅当对 G 中所有元素 g ， gN = Ng 。这时子群 N 所有的陪集构成一个群，称为 G 对 H 的商群，记作 G / H 。其元素间的运算 ∗ 定义为( aH )∗( bH ) = abH 。这个定义自洽当且仅当 N 为正规子群。

有限指数

无限群 G 可能有具有有限指数的子群 H （例如，整数群中的偶数）。可以证明，这样的子群总是包含一个具有有限指数的（ G 的）正规子群 N 。事实上，如果 H 具有指数 n ，则 N 的指数是 n !的因子。这一性质可以通过具体的例子来体现：考虑 G 通过乘法在 H 的左陪集上的置换作用（或者，在右陪集上的作用也是同样的例子）

其中 S H {\displaystyle S_{H}} 是所有陪集的集合。对 G 中任意的 g ， π π --> g : a H ↦ ↦ --> g a H {\displaystyle \pi _{g}\ :aH\mapsto gaH} 都是一个置换。再考虑相应的置换表示： Π Π --> : g ↦ ↦ --> π π --> g {\displaystyle \Pi \ :g\mapsto \pi _{g}} ，这个置换表示的核给出了 G 的一个正规子群 N ，而它的象是 G 的一个商群：一个在 n 个元素上的对称群的子群。

n = 2时，上述性质表明指数为2的子群总是一个正规子群，因为 2!=2。

参看

双陪集

堆

拉格朗日定理

正规子群

商群

参考来源

胡冠章，《应用近世代数》，第2章，清华大学出版社。

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