例子

如果我们认 R{\displaystyle \mathbb {R} } 为实数的集合，则直积 R× × -->R{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} } 完笛卡尔笛卡尔积{(x,y)|x,y∈ ∈ -->R}{\displaystyle \{(x,y)|x,y\in \mathbb {R} \}}。

如果我们认 R{\displaystyle \mathbb {R} } 为实数集在加法下的群，则直积 R× × -->R{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} } 仍构成自 {(x,y)|x,y∈ ∈ -->R}{\displaystyle \{(x,y)|x,y\in \mathbb {R} \}}。和上个例子的不同是 R× × -->R{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} } 现在是群。我们必须定义如何做它们的元素的加法。这个定义为 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d){\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,}。

如果我们认 R{\displaystyle \mathbb {R} } 为实数集的环，则直积 R× × -->R{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} } 仍构成自 {(x,y)|x,y∈ ∈ -->R}{\displaystyle \{(x,y)|x,y\in \mathbb {R} \}}。要使它成为环，我们必须定义它们的元素的运算，加法定义为 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d){\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,}，而乘法定义为 (a,b)(c,d)=(ac,bd){\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd)\,}。

但是如果我们认 R{\displaystyle \mathbb {R} } 为实数集的域，则直积 R× × -->R{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} } 不存在！以类似上例的方式定义 {(x,y)|x,y∈ ∈ -->R}{\displaystyle \{(x,y)|x,y\in \mathbb {R} \}} 的结果不是一个域，因为元素 (1,0){\displaystyle (1,0)} 不存在乘法逆元。

以类似的方式，我们可以谈论多于两个对象的乘积，比如 R× × -->R× × -->R× × -->R{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }。我们甚至可以谈论无限多个对象的乘积比如 R× × -->R× × -->R× × -->⋯ ⋯ -->{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb }。

群直积

在群论中可以定义两个群 (G, *) 和 (H, o) 的直积，指示为 G × H。对于写为加法的阿贝尔群，它也可以叫做两个群的直和，指示为 G⊕ ⊕ -->H{\displaystyle G\oplus H}。

它定义为如下:

新群的元素的集合是 G 和 H 的元素的集合的笛卡尔积，即 {(g, h): g ∈ G, h ∈ H}；

逐元素定义在这些元素上的运算:

(注意运算 * 可以同于 o。)

这个构造给出了新群。它有同构于 G (构成自形如 (g, 1) 的元素)的一个正规子群，和同构于 H (构成自元素 (1, h))的一个正规子群。

逆命题也成立，有下列识别定理: 如果群 K 包含两个正规子群 G 和 H，使得 K= GH 并且 G 和 H 的交集只包含单位元，则 K 同构于 G × H。将其中一个正规子群条件弱化为一般子群则给出半直积。

作为一个例子，选取 G 和 H 是唯一(不别同构之异) 2 阶群 C2 的两个复本: 即 {1, a} 和 {1, b}。则 C2×C2 = {(1,1), (1,b), (a,1), (a,b)}，带有逐元素运算。例如，(1,b)*(a,1) = (1*a, b*1) = (a,b)，而 (1,b)*(1,b) = (1,b) = (1,1)。

通过直积，我们得到一些自然群同态: 投影映射

叫做坐标函数。

还有，在直积上的所有同态 f 都完全决定自它的分量(component)函数 fi=π π -->i∘ ∘ -->f{\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f}。

对于任何群 (G, *)，和任何整数 n ≥ 0，多次应用直积得到所有 n-元组的群 G (n=0 时是平凡群)。例如:

Z。

R (带有额外的向量空间结构就叫做欧几里得空间，见后描述)。

模的直积

模的直积(不要混淆于张量积)非常类似于上述群直积的定义，使用笛卡尔积带有逐分量的加法运算，和只分布在所有分量上的标量乘法运算。开始于 R 我们得到欧几里得空间R，它是实 n-维向量空间的原型例子。R 和 R 的直积是 R。

注意有限索引 ∏ ∏ -->i=1nXi{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}} 的直积同一于直和 ⨁ ⨁ -->i=1nXi{\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}}。直和与直积只对无限索引有区别，这里直和的元素对于除了对于有限多个之外所有的项目是零。它们是对偶的: 直和是上积，而直积是乘积。

例如，考虑 X=∏ ∏ -->i=1∞ ∞ -->R{\displaystyle X=\prod _{i=1}^{\infty }{\mathcal {R}}} 和 Y=⨁ ⨁ -->i=1∞ ∞ -->R{\displaystyle Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }{\mathcal {R}}}，实数的无限直积和直和。在 Y 中只有有着有限多个非零元素的序列。例如，(1,0,0,0,...) 在 Y 中但 (1,1,1,1,...) 不在。这两种序列都在直积 X 中；事实上，Y 是 X 的真子集(也就是 Y⊂X)。

拓扑空间直积

拓扑空间的搜集 Xi 即对于 i 在 I 中的某个索引集合的直积，再次利用了笛卡尔积

定义拓扑是有些技巧的。对于有限多个因子这是明显和自然的事情: 简单的选取开集构成的基为来自每个因子的开子集的所有笛卡尔积的搜集:

这个拓扑叫做乘积拓扑。例如，直接通过 R 的开集们(开区间的不交并)定义在 R 上的乘积拓扑，这个拓扑的基由在平面上的开矩形的所有不交并构成(明显的它一致于平常的度量拓扑)。

无限乘积的拓扑就有些曲折了，要能够确使所有投影映射连续，并确使所有到乘积中的函数连续当且仅当所有它的分量函数是连续的(就是满足乘积范畴定义: 这里的态射是连续函数): 我们同上面一样的选取的开集构成的基围来自每个因子的开子集的所有笛卡尔积的搜集，但带有除了有限多个开子集之外所有都是整个因子的限制条件:

在这种情况下更自然可靠的拓扑将是如上那样选取无限多个开子集的乘积，而这产生了有些意思的拓扑，即盒拓扑，但是不难找到其乘积函数不是连续的连续分量函数丛(例子请参见盒拓扑的条目)。使这种曲折成为必须的问题最终根源于在拓扑定义中开集的交集对无限多集合不保证是开集的事实。

乘积(带有乘积拓扑)关于保持它们因子的性质是良好的；例如，豪斯多夫空间的乘积是豪斯多夫空间；连通空间的乘积是连通空间，而紧致空间的乘积是紧致空间。最后一个也叫做吉洪诺夫定理，它是选择公理的另一个等价形式。

更多的形式和等价公式请参见单独条目乘积拓扑。

二元关系的直积

在带有二元关系R 和 S 的两个集合上的笛卡尔积上，定义 (a, b) T (c, d) 为 aRc 并且 bSd。如果 R 和 S 都是自反的、反自反的、传递的、对称的或反对称的，则 T 有同样性质。 组合各性质，可得出这还适用于作为预序和作为等价关系情况。但是如果 R 和 S 是完全关系，T 一般不是。

度量和范数

在度量空间的笛卡尔积上的度量，和在赋范向量空间的直积上的范数，可以用各种方式定义，例子请参见p-范数。

参见

直和

笛卡尔积

上积

自由积

半直积

Zappa-Szep积

图的张量积

引用

Lang, S. Algebra. New York: Springer-Verlag, 2002.

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