数学定义

若 k 个随机变量 Z 1 {\displaystyle Z_{1}} 、……、 Z k {\displaystyle Z_{k}} 是相互独立，符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量 Z 的平方和

被称为服从自由度为 k 的 卡方分布 ，记作

特征

可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。

概率密度函数

卡方分布的概率密度函数为：

其中x≥0，当x≤0时 f k ( x ) = 0 {\displaystyle f_{k}(x)=0} 。这里Γ代表Gamma函数。

累积分布函数

卡方分布的累积分布函数为：

其中γ(k,z)为不完全Gamma函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.orgCalc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

自由度为 k 的卡方变量的平均值是 k ，方差是 2k 。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

其中 ψ ψ --> ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 是双伽玛函数。

卡方变数与Gamma变数的关系

当Gamma变数 频率（ λ ）为1/2时， α 的2倍为卡方变数之自由度（Degree of freedom） 即：

卡方变数之期望值＝自由度 卡方变数之方差＝两倍自由度

卡方分布表

p-value = 1- p_CDF.

χ2越大，p-value越小，则可信度越高。通常用p=0.05作为阈值，即95%的可信度。

常用的χ2与p-value表如下:

参考文献

卡方分配与卡方检定

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