第一方程

设f=f(x, y, z){\displaystyle f=f(x,\ y,\ z)}，以及fy, fz{\displaystyle f_{y},\ f_{z}}在[a, b]× × -->R2{\displaystyle [a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}}中连续，并设泛函

若y∈ ∈ -->C1[a, b]{\displaystyle y\in C^{1}[a,\ b]}使得泛函J(y){\displaystyle J(y)}取得局部平稳值，则对于所有的x∈ ∈ -->(a, b){\displaystyle x\in (a,\ b)}，

推广到多维的情况，记

若y→ → -->′(x)∈ ∈ -->(C1[a,b])n{\displaystyle {\vec {y}}"(x)\in (C^{1}[a,b])^{n}}使得泛函J(y→ → -->)=∫ ∫ -->abf(x,y→ → -->,y→ → -->′)dx{\displaystyle J({\vec {y}})=\int _{a}^{b}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}")dx}取得局部平稳值，则在区间(a, b){\displaystyle (a,\ b)}内对于所有的i=1, 2, … … -->, n{\displaystyle i=1,\ 2,\ \ldots ,\ n}，皆有

第二方程

设f=f(x, y, z){\displaystyle f=f(x,\ y,\ z)}，及fy, fz{\displaystyle f_{y},\ f_{z}}在[a, b]× × -->R2{\displaystyle [a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}}中连续，若y∈ ∈ -->C1[a, b]{\displaystyle y\in C^{1}[a,\ b]}使得泛函J(y)=∫ ∫ -->abf(x,y(x),y′(x))dx{\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y"(x))dx}取得局部平稳值，则存在一常数C{\displaystyle C}，使得

例子

设(0, 0){\displaystyle (0,\ 0)}及(a, b){\displaystyle (a,\ b)}为直角坐标上的两个固定点，欲求连接两点之间的最短曲线。设(x(t), y(t))(t∈ ∈ -->[0, 1]){\displaystyle (x(t),\ y(t))(t\in [0,\ 1])}，并且

这里，(x(t), y(t))∈ ∈ -->C1[0, 1]{\displaystyle (x(t),\ y(t))\in C^{1}[0,\ 1]}为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为

现设

取偏微分，则

若y{\displaystyle y}使得L(y){\displaystyle L(y)}取得局部平稳值，则y{\displaystyle y}符合第一方程：

因此，

随t{\displaystyle t}积分，

这里，C0, C1{\displaystyle C_{0},\ C_{1}}为常数。重新编排，

再积分，

代入初始条件

即可解得(x(t), y(t))=(at, bt){\displaystyle (x(t),\ y(t))=(at,\ bt)}，是连接两点的一条线段。

另经过其他的分析，可知此解为唯一解，并且该解使得L(y){\displaystyle L(y)}取得极小值，所以在平面上连结两点间弧长最小的曲线为一直线。

参阅

拉格朗日方程

变分法

作用量

哈密顿原理

参考书籍

Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。