定义

设 R {\displaystyle R} 为一 环 ， I ⊂ ⊂ --> R {\displaystyle I\subset R} 为一 双边理想 。定等价关系价关系

令 R / I {\displaystyle R/I} 为其等价类的集合，其中的元素记作 a + I {\displaystyle a+I} ，其中 a {\displaystyle a} 是该元素在 R {\displaystyle R} 上任一代表元。我们可以在 R / I {\displaystyle R/I} 上定义环结构：

以上运算是明确定义的（在第二式中须用到 I {\displaystyle I} 是双边理想）。集合 R / I {\displaystyle R/I} 配合上述运算称作 R {\displaystyle R} 对 I {\displaystyle I} 的 商环 。根据定义，商映射 R → → --> R / I , a ↦ ↦ --> a + I {\displaystyle R\rightarrow R/I,a\mapsto a+I} 是满的环同态， I {\displaystyle I} 为此同态的核。

如果 R {\displaystyle R} 含单位元 1 {\displaystyle 1} ，则 1 + I {\displaystyle 1+I} 是 R / I {\displaystyle R/I} 的单位元。

注 ：若条件弱化为 I {\displaystyle I} 是左（或右）理想，上述两式仍可赋予集合 R / I {\displaystyle R/I} 左（或右） R {\displaystyle R} -模结构。

例子

最平凡的例子是 I = ( 0 ) , I = R {\displaystyle I=(0),I=R} ，此时分别得到 R / I = R , R / I = ( 0 ) {\displaystyle R/I=R,R/I=(0)} 。

取 R = Z , I = n Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} ,I=n\mathbb {Z} } ，商环 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 可视为模运算的代数框架，其中的元素即模 n {\displaystyle n} 的剩余类。

商环是构造代数扩张的主要工具。例如取实系数多项式环 R = R [ X ] {\displaystyle R=\mathbb {R} [X]} ， I = ( X 2 + 1 ) R [ X ] {\displaystyle I=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]} ，则商环 R [ X ] / ( X 2 + 1 ) {\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)} 与复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 同构（考虑映射 f ( X ) + ( X 2 + 1 ) ↦ ↦ --> f ( i ) {\displaystyle f(X)+(X^{2}+1)\mapsto f(i)} ）。一般而言，设 F {\displaystyle F} 为一个域， p ( X ) ∈ ∈ --> F [ X ] {\displaystyle p(X)\in F[X]} 为 F {\displaystyle F} 上的不可约多项式，则商环 F [ X ] / p ( X ) {\displaystyle F[X]/p(X)} 的意义在于抽象地在 F {\displaystyle F} 上加进 p ( X ) {\displaystyle p(X)} 的一个根。

性质

商环由下述泛性质唯一决定（至多差一个同构）：

事实上，若更设 K e r ( ϕ ϕ --> ) = ( 0 ) {\displaystyle \mathrm {Ker} (\phi )=(0)} ，则 ψ ψ --> : R / I → → --> S {\displaystyle \psi :R/I\rightarrow S} 是单射。准此， R {\displaystyle R} 的同态像无非是 R {\displaystyle R} 的商环。

理想的性质常与其商环相关，例如当 R {\displaystyle R} 是交换含幺环时， I {\displaystyle I} 是素理想（或极大理想）当且仅当 R / I {\displaystyle R/I} 是整环（或域）； R {\displaystyle R} 中包含 I {\displaystyle I} 的理想一一对应于 R / I {\displaystyle R/I} 中的所有理想，此对应由商映射的逆像给出。

文献

Serge Lang, Algebra （2002）, Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X

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