连续数个整数均为哈沙德数

1994年，H.G. Grundman 证明在十进制并无21个连续整数均是哈沙德数，他亦找到了最小20个连续整数都是哈沙德数的数列，它们大于10。

1996年T. Cai 证明了以下的事实：在二进制存在无限多组连续四个整数为哈沙德数；在三进制存在无限多组六个整数为哈沙德数。

有猜想说n进制中有无限多组连续2n个整数为哈沙德数，但并无连续2n+1个整数为哈沙德数。

密度

设N(x)为小于或等于x哈沙德数的数目，对于任何给定的 ε > 0 ，Jean-Marie De Koninck和Nicolas Doyon发现：

De Koninck、Doyon和Katai证明：

当 c = 14/27 log 10 ≈ 1.1939 。

参考

H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quart. 32 (1994), 174-175

Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quart. Volume 41.5 (November 2003), 431-440

Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katai, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275

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