历史

最开始，邱奇试图创制一套完整的形式系统作为数学的基础，当他发现这个系统易受罗素悖论的影响时，就把lambda演算单独分离出来，用于研究可计算性，最终导致了他对判定性问题的否定回答。

非形式化的描述

在λ演算中，每个表达式都代表一个函数，这个函数有一个参数，并且返回一个值。不论是参数和返回值，也都是一个单参的函数。可以这么说，λ演算中，只有一种“类型”，那就是这种单参函数。

函数是通过λ表达式匿名地定义的，这个表达式说明了此函数将对其参数进行什么操作。例如，“加2”函数f(x)= x + 2可以用lambda演算表示为λx.x + 2 (或者λy.y + 2，参数的取名无关紧要)而f(3)的值可以写作(λx.x + 2) 3。函数的应用（application）是左结合的：f x y =(f x) y。

考虑这么一个函数：它把一个函数作为参数，这个函数将被作用在3上：λf.f 3。如果把这个（用函数作参数的）函数作用于我们先前的“加2”函数上：(λf.f 3)(λx.x+2)，则明显地，下述三个表达式：

是等价的。有两个参数的函数可以通过lambda演算这么表达：一个单一参数的函数的返回值又是一个单一参数的函数（参见Currying）。例如，函数f(x, y) = x - y可以写作λx.λy.x - y。下述三个表达式：

也是等价的。然而这种lambda表达式之间的等价性无法找到一个通用的函数来判定。

并非所有的lambda表达式都可以规约至上述那样的确定值，考虑

或

然后试图把第一个函数作用在它的参数上。 (λx.x x)被称为ω组合子，((λx.x x)(λx.x x))被称为Ω，而((λx.x x x) (λx.x x x))被称为Ω2，以此类推。

若仅形式化函数作用的概念而不允许lambda表达式，就得到了组合子逻辑。

形式化定义

形式化地，我们从一个标识符（identifier）的可数无穷集合开始，比如{a, b, c, ..., x, y, z, x1, x2, ...}，则所有的lambda表达式可以通过下述以BNF范式表达的上下文无关文法描述：

 ::=

 ::= (λ.)

 ::= ( )

头两条规则用来生成函数，而第三条描述了函数是如何作用在参数上的。通常，lambda抽象（规则2）和函数作用（规则3）中的括号在不会产生歧义的情况下可以省略。如下假定保证了不会产生歧义：（1）函数的作用是左结合的，和（2）lambda操作符被绑定到它后面的整个表达式。例如，表达式 (λx.x x)(λy.y) 可以简写成λ(x.x x) λy.y 。

类似λx.(x y)这样的lambda表达式并未定义一个函数，因为变量y的出现是自由的，即它并没有被绑定到表达式中的任何一个λ上。一个lambda表达式的自由变量的集合是通过下述规则（基于lambda表达式的结构归纳地）定义的：

在表达式V中，V是变量，则这个表达式里自由变量的集合只有V。

在表达式λV .E中（V是变量，E是另一个表达式），自由变量的集合是E中自由变量的集合减去变量V。因而，E中那些V被称为绑定在λ上。

在表达式 (E E")中，自由变量的集合是E和E"中自由变量集合的并集。

例，对于表达式λx.x（我们将第一个x视作变量，第二个x视作表达式），其中表达式x中，由1，它的自由变量集合是x，又由2，表达式λx.x的自由变量的集合是表达式x的自由变量集合减去变量x。所以对于表达式λx.x，它的自由变量集合是空。 例，对于表达式λx.x x由形式化描述的第3点，我们把它看作((λx.x)(x))，(λx.x)和(x)分别为表达式，由上一例知道(λx.x)的自由变量集合为空，表达式(x)的变量集合为变量x，所以对于λx.x x，它的自由变量集合为x与空的并，即x。

在lambda表达式的集合上定义了一个等价关系(在此用==标注)，“两个表达式其实表示的是同一个函数”这样的直觉性判断即由此表述，这种等价关系是通过所谓的“alpha-变换规则”和“beta-归约规则”。

归约

α-变换

Alpha-变换规则表达的是，被绑定变量的名称是不重要的。比如说λx.x和λy.y是同一个函数。尽管如此，这条规则并非像它看起来这么简单，关于被绑定的变量能否由另一个替换有一系列的限制。

Alpha-变换规则陈述的是，若V与W均为变量，E是一个lambda表达式，同时E[V:=W]是指把表达式E中的所有的V的自由出现都替换为W，那么在W不是 E中的一个自由出现，且如果W替换了V，W不会被E中的λ绑定的情况下，有

这条规则告诉我们，例如λx.(λx.x) x这样的表达式和λy.(λx.x) y是一样的。

β-归约

Beta-归约规则表达的是函数作用的概念。它陈述了若所有的E"的自由出现在E [V:=E"]中仍然是自由的情况下，有

成立。

==关系被定义为满足上述两条规则的最小等价关系（即在这个等价关系中减去任何一个映射，它将不再是一个等价关系）。

对上述等价关系的一个更具操作性的定义可以这样获得：只允许从左至右来应用规则。不允许任何beta归约的lambda表达式被称为Beta范式。并非所有的lambda表达式都存在与之等价的范式，若存在，则对于相同的形式参数命名而言是唯一的。此外，有一个算法用户计算范式，不断地把最左边的形式参数替换为实际参数，直到无法再作任何可能的规约为止。这个算法当且仅当lambda表达式存在一个范式时才会停止。Church-Rosser定理说明了，当且仅当两个表达式等价时，它们会在形式参数换名后得到同一个范式。

η-变换

前两条规则之后，还可以加入第三条规则，eta-变换，来形成一个新的等价关系。Eta-变换表达的是外延性的概念，在这里外延性指的是，两个函数对于所有的参数得到的结果都一致，当且仅当它们是同一个函数。Eta-变换可以令λx .f x和f相互转换，只要x不是f中的自由出现。下面说明了为何这条规则和外延性是等价的：

若f与g外延地等价，即，f a == g a对所有的lambda表达式a成立，则当取a为在f中不是自由出现的变量x时，我们有f x == g x，因此λx .f x == λx .g x，由eta-变换f == g。所以只要eta-变换是有效的，会得到外延性也是有效的。

相反地，若外延性是有效的，则由beta-归约，对所有的y有(λx .f x) y == f y，可得λx .f x == f，即eta-变换也是有效的。

lambda演算中的算术

在lambda演算中有许多方式都可以定义自然数，但最常见的还是邱奇数，下面是它们的定义：

以此类推。直观地说，lambda演算中的数字n就是一个把函数f作为参数并以f的n次幂为返回值的函数。换句话说，邱奇整数是一个高阶函数-- 以单一参数函数f为参数，返回另一个单一参数的函数。

(注意在邱奇原来的lambda演算中，lambda表达式的形式参数在函数体中至少出现一次，这使得我们无法像上面那样定义0)在邱奇整数定义的基础上，我们可以定义一个后继函数，它以n为参数，返回n + 1：

加法是这样定义的：

PLUS可以被看作以两个自然数为参数的函数，它返回的也是一个自然数。你可以试试验证

与5是否等价。乘法可以这样定义：

即m乘以n等于在零的基础上m次加n。另一种方式是

正整数n的前驱元（predecessesor）PRED n = n - 1要复杂一些：

或者

注意(g 1)(λu.PLUS(g k) 1) k表示的是，当g(1)是零时，表达式的值是k，否则是g(k)+ 1。

逻辑与谓词

习惯上，下述两个定义（称为邱奇布尔值）被用作TRUE和FALSE这样的布尔值：

接着，通过这两个λ-项，我们可以定义一些逻辑运算：

我们现在可以计算一些逻辑函数，比如：

我们见到AND TRUE FALSE等价于FALSE。

“谓词”是指返回布尔值的函数。最基本的一个谓词是ISZERO，当且仅当其参数为零时返回真，否则返回假：

运用谓词与上述TRUE和FALSE的定义，使得"if-then-else"这类语句很容易用lambda演算写出。

有序对

有序对（2-元组）数据类型可以用TRUE、FALSE和IF来定义。

链表数据类型可以定义为，要么是为空列表保留的值（e.g.FALSE），要么是CONS一个元素和一个更小的列表。

递归

递归是使用函数自身的函数定义；在表面上，lambda演算不允许这样。但是这种印象是误解。考虑个例子，阶乘函数f(n)递归的定义为

在lambda演算中，你不能定义包含自身的函数。要避免这样，你可以开始于定义一个函数，这里叫g，它接受一个函数f作为参数并返回接受n作为参数的另一个函数：

函数g返回要么常量1，要么函数f对n-1的n次应用。使用ISZERO谓词，和上面描述的布尔和代数定义，函数g可以用lambda演算来定义。

但是，g自身仍然不是递归的；为了使用g来创建递归函数，作为参数传递给g的f函数必须有特殊的性质。也就是说，作为参数传递的f函数必须展开为调用带有一个参数的函数g -- 并且这个参数必须再次f函数!

换句话说，f必须展开为g(f)。这个到g的调用将接着展开为上面的阶乘函数并计算下至另一层递归。在这个展开中函数f将再次出现，并将被再次展开为g(f)并继续递归。这种函数，这里的f = g(f)，叫做g的不动点，并且它可以在lambda演算中使用叫做悖论算子或不动点算子来实现，它被表示为Y --Y组合子：

在lambda演算中，Y g是g的不动点，因为它展开为g(Y g)。现在，要完成我们对阶乘函数的递归调用，我们可以简单的调用 g(Y g)n，这里的n是我们要计算它的阶乘的数。

比如假定n = 5，它展开为：

等等，递归的求值算法的结构。所有递归定义的函数都可以看作某个其他适当的函数的不动点，因此，使用Y所有递归定义的函数都可以表达为lambda表达式。特别是，我们现在可以明晰的递归定义自然数的减法、乘法和比较谓词。

可计算函数和lambda演算

自然数的函数F: N → N是可计算函数，当且仅当存在着一个lambda表达式f，使得对于N中的每对x, y都有F(x) = y当且仅当f x == y，这里的x和y分别是对应于x和y的邱奇数。这是定义可计算性的多种方式之一；关于其他方式和它们的等价者的讨论请参见邱奇-图灵论题。

参见

邱奇-图灵论题

递归函数

可计算函数

柯里化

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